高等代数定理汇总前三章

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1、第一章多项式定理1对于数域上的任意两个多项式fx，gx，其中gx≠0，gxfx的充分必要条件是gx除fx的余式为零.定理2对于Px中任意两个多项式fx，gx，在Px中存在一个最大公因式ⅆx，且ⅆx可以表成fx，gx的一个组合，即有Px中多项式ux，vx使ⅆx=uxfx+νxgx.定理3Px中两个多项式fx，gx互素的充分必要条件是有Px中的多项式ux，vx使uxfx+νxgx=1.定理4如果fx,gx=1，且fxgxhx，那么fxhx.推论如果f1xgx，f2xgx，且f1x，f2x=1，那么f1xf2x

2、gx.定理5如果px是一个不可约多项式，那么对

3、于任意的两个多项式fx，gx，由pxfxgx一定推出pxfx或者pxgx.因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式fx都可以唯一地被分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.定理6如果不可约多项式px是fx的k重因式k≥1，那么它是微商f'x的k-1重因式.推论1如果不可约多项式px是fx的k重因式k≥1，那么px是fx，f'x，⋯，fk-1x的因式，但不是fkx的因式.推论2不可约多项式px是fx的重因式的充分必要条件为px是fx与f'x的公因式.推论3多项式fx没有重因式的充分必要条件是fx与f'x互素.定理7（余数定理）用一次多项式x-α去

4、除多项式fx，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值fα.推论α是fx的根的充分必要条件是x-αfx.定理8Px中n次多项式n≥0在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算.定理9如果多项式fx，gx的次数都不超过n，而它们对n+1个不同的数α1，α2，⋯，αn+1有相同的值，即fαi=gαi，i=1，2，⋯，n+1，那么fx=gx.代数基本定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理每个次数≥1的实系数多项式在实数域上都可以唯

5、一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理10（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.定理12设fx=anxn+an-1xn-1+⋯+a0是一个整系数多项式，而rs是它的一个有理根，其中r，s互素，那么必有san，ra0.特别地，如果fx的首项系数an=1，那么fx的有理根都是整根，而且是a0的因子.定理13（艾森斯坦判别法）设fx=anxn+an-1xn-1+⋯+a0是一个整系数多项式.如果有一个素数p，使得1

6、）p∤an；2）pan-1，an-2，⋯，a0；3）p2∤a0，那么fx在有理数域上是不可约的.第二章行列式定理1对换改变排列的奇偶性.推论在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n!2个定理2任意一个n级排列与排列12⋯n都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.行列式性质1行列互换，行列式不变.性质2如果行列式一行为零，那么行列式为零.性质3如果某一行是两组数的和，那么行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应行一样.性质4如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.性质5如果行列式中两行

7、成比例，那么行列式为零.性质6把一行的倍数加到另一行，行列式不变.性质7对换行列式中两行的位置，行列式反号.定理3设d=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann，Aij表示元素aij的代数余子式，则下列公式成立：ak1Ai1+ak2Ai2+⋯+aknAin=d，当k=ⅈ，0，当k≠ⅈ；a1lA1j+a2lA2j+⋯+anlAnj=d，当l=j，0，当l≠j.用连加号简写为s=1naksAis=d，当k=ⅈ，0，当k≠ⅈ；s=1naslAsj=d，当l=j，0，当l≠j.定理4（克拉默法则）如果线性方程组a11x1+a12x2+

8、⋯+a1nxn=b1，a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2，⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn的系数矩阵A=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann的行列式，即系数行列式d=A≠0，那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为x1=d1d，x2=d2d，⋯，xn=dnd，其中ⅆj是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项b1，b2，⋯，bn所组成的矩阵的行列式.定理5如果齐次线性方程组a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0，a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0，⋯⋯⋯⋯an1x1+an2

9、x2+⋯+annxn=0的系数矩阵的行列式A≠0，那么它只有零解.换句话说，如果方程组有非零解