高等代数前三章内容简单总结.docx

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1、高等代数前三章内容简单总结1.矩阵的初等行变换①把一行的倍数加到另一行上；②互换两行位置；③用一个非零数乘某一行。2.简化行阶梯行矩阵①它是阶梯形矩阵；②每个非零行的主元都是1；③每个主元所在的列的其余元素都是0。3.Gauss-Jordan算法①相应的阶梯形方程组出现“0=d（d≠0）”原方程组无解；②阶梯形矩阵的非零行数目r等于未知量个数n（r=n）原方程组有唯一解；③阶梯形矩阵的非零行数目r小于未知量个数n（r＜n）原方程组有无穷多解。4.推论①n元齐次线性方程组有非零解它的系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵中，非零行数目r＜n；②n元齐次线

2、性方程组如果方程的数目s小于未知量的数目n，那么它一定有非零解。5.行列式性质①行列互换，行列式的值不变；②行列式一行的公因子可以提出去；③行列式中若有某一行是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的这一行分别是第一组数和第二组数，而其余各行与原来行列式的相应各行相同；④两行互换，行列式反号；⑤两行相同，行列式的值为0；⑥两行成比例，行列式的值为0；⑦把一行的倍数加到另一行上，行列式的值不变。6.行列式按一行（列）展开①n阶行列式A等于它的第i行元素与自己的代数余子式的乘积之和，即A=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯⋯+ainAin=j=

3、1naijAij；②n阶行列式A等于它的第j列元素与自己的代数余子式的乘积之和，即A=a1jA1j+a2jA2j+⋯⋯+anjAnj=l=1naljAlj；③n阶行列式A的第i行元素与第k行（k≠i）相应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即ai1Ak1+ai2Ak2+⋯⋯+ainAkn=0，当k≠i；④n阶行列式A的第j列元素与第l列（j≠l）相应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即a1jA1l+a2jA2l+⋯⋯+anjAnl=0，当l≠j。7.Cramer法则①数域K上n个方程的n元线性方程组有唯一解系数行列式A≠0；②数域K上n个方程的n元齐线性

4、方程组只有零解系数行列式A≠0；③数域K上n个方程的n元齐线性方程组有非零解系数行列式A=0；④n个方程的n元线性方程组的系数行列式A≠0时，它的唯一解是B1A,B2A,⋯⋯,BnA8.Laplace定理在n阶行列式A中，取定第i1，i2，⋯⋯，ik行（i1

5、间①α、β∈U，则α+β∈U；②若α∈U，k∈K，则kα∈U。10.线性相关与线性无关的向量组①Kn中列向量组α1，⋯，αn线性相关有K中不全为0的数c1，⋯，cn，使得c1α1+c2α2+⋯⋯+cnαn=0；K上n元齐次线性方程组x1α1+xα2+⋯⋯+xnαn=0有非零解。②Kn中列向量组α1，⋯，αn线性无关有K中全为0的数c1，⋯，cn，使得c1α1+c2α2+⋯⋯+cnαn=0；K上n元齐次线性方程组x1α1+xα2+⋯⋯+xnαn=0只有零解。③Ks中，列（行）向量α1，⋯，αn线性相关以α1，⋯，αn为列（行）向量组的矩阵A的行列式A=0

6、；④Ks中，列（行）向量α1，⋯，αn线性无关以α1，⋯，αn为列（行）向量组的矩阵A的行列式A≠0；⑤α线性相关有k≠0使得kα=0α=0；从而α线性无关α≠0；⑥向量组α1，⋯，αn线性相关（n≥2）其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出；从而向量组α1，⋯，αn线性无关其中每一个向量都不能由其余的向量线性表出；⑦设β可以由α1，⋯，αs线性表出，则表出方式唯一α1，⋯，αs线性无关；⑧设α1，⋯，αs线性无关，如果α1，⋯，αs，β线性相关，那么β可以由α1，⋯，αs线性表出。11.极大线性无关组、向量组的秩（1）向量组α1，⋯，αs的一个部分

7、组称为它的一个极大线性无关组，如果满足：①这个部分组线性无关；②从向量组的其余向量中（如果有）任取一个填进来，得到的新的部分组都是线性相关；（2）若向量组（Ⅰ）中每一个向量都可以由向量组（Ⅱ）线性表出，则称（Ⅰ）可以由（Ⅱ）线性表出；（3）向量组α1，⋯，αs与它的任意一个极大线性无关组等价；（4）向量组α1，⋯，αs的任意两个极大线性无关组等价；（5）设向量组β1，⋯，βr可以由向量组α1，⋯，αs线性表出，如果r＞s，那么β1，⋯，βr线性相关；（6）设向量组β1，⋯，βr可以由向量组α1，⋯，αs线性表出，如果向量组β1，⋯，βr线性无关，那么r

8、≤s；（7）等价的线性无关的两个向量组，所含向量的个数相等；（8）向量组α1，⋯，αs的任意两