《高等代数》数分高代定理大全

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1、数分高代定理大全《高等代数》第一章带余除法对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使成立，其中或者，并且这样的是唯一决定的.定理1对于数域上的任意两个多项式，其中的充分必要条件是除的余式为零.定理2对于中任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表示成，的一个组合，即有中多项式使.定理3中两个多项式，互素的充分必要条件是有中的多项式使.定理4如果，且，那么.定理5如果是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式，由一定推出或者.因式分解及唯一性定理数域上每一个次数的多项式都可以唯一地分解成

2、数域上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式那么必有，并且适当排列因式的次序后有其中是一些非零常数.定理6如果不可约多项式是的重因式，那么它是微商的重因式.定理7（余数定理）用一次多项式去除多项式，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值.定理8中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算.定理9如果多项式，的次数都不超过，而它们对个不同的数有相同的值，即那么.代数基本定理每个次数的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地

3、分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理10（高斯（Gauss）引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.定理12设是一个整系数多项式，而是它的有理根，其中互素，那么必有.特别地，如果的首项系数，那么的有理根是整根，而且是的因子.定理13（艾森斯坦（Eisenstein）判别法）设是一

4、个整系数多项式，如果有一个素数，使得1.；2.；3.那么在有理数域上是不可约的.第二章定理1对换改变排列的奇偶性.定理2任意一个级排列与排列都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.定理3设，表示元素的代数余子式，则下列公式成立：定理4（克拉默法则）如果线性方程组的系数矩阵的行列式，那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为其中是把矩阵中第列换成方程组的常数项所成的行列式，即定理5如果齐次线性方程组的系数矩阵的行列式，那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有非零

5、解，那么必有.定理6（拉普拉斯定理）设在行列式中任意取定了个行.由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式.定理7两个级行列式和的乘积等于一个级行列式，其中是的第行元素分别与的第列的对应元素乘积之和：.第三章定理1在齐次线性方程组中，如果，那么它必有非零解.定理2设与是两个向量组，如果1）向量组可以经线性表出，2），那么向量组必线性相关.定理3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量定理4矩阵的行秩与列秩相等.定理5矩阵的行列式为零的充分必要条件是的秩小于.定理6一矩阵的秩是

6、的充分必要条件为矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零.定理7（线性方程组有解判别定理）线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。定理8在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于，这里表示系数矩阵的秩.定理9如果是方程组的一个特解，那么该方程组的任一个解都可以表成，其中是导出组的一个解.因此，对于方程组的任一个特解，当取遍它的导出组的全部解时，就给出本方程组的全部解.第四章定理1设是数域上的两个矩阵，那么，即矩阵的乘积的行列式等于它的因子的

7、行列式的乘积.定理2设是数域上矩阵，是数域上矩阵，于是，即乘积的秩不超过各因子的秩.定理3矩阵是可逆的充分必要条件是非退化，而.定理4是一个矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵，那么.定理5任意一个矩阵都与一形式为的矩阵等价，它称为矩阵的标准形，主对角线上1的个数等于的秩（1的个数可以是零）.定理6级矩阵为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：第五章定理1数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和.定理2在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定理3任意一个复系数的二次型，经过

8、一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。定理4任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。定理5（1）任一复对称矩阵都合同于一个下述形式的对角矩阵;,其中，对角线上1的个数等于的秩.（2）任一实对称矩阵都合同于一个下述形式的对角矩阵：，其中对角线上1的个数及-1的个数（是的秩）都是唯一确定的，分别称为的正、负惯性指数.它们的差称为的符号差.定理6元实二次型是正定的充分必要条件是它的正