《数学月刊》同步讲台第9课

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1、同步讲台第9课函数的应用●考点搜索1.函数是高中数学的主线，它除了本身有丰富多彩的内容之外，还具有多种应用的功能，树立函数思想，掌握函数功能，是函数综合应用的精华.2.函数应用题的解答程序①解读实际问题→②建立数学模型→③解答数学问题→④检验实际结论.其中，解读实际问题指的是：通过阅读材料(如：语言文字，表格，图形等)，了解实际问题的背景，弄清哪些是已知条件，哪些是未知的，尤其是那些“隐含”的未知量.按照最少需要量设未知数，列出已知量与未知量之间的关系式(如：等式，解析式，不等式等)从而建立数学模型，然后确定具体的函数关系，从而将实

2、际问题转化为数学问题.3.函数与众多内容有着千丝万缕的联系，常见的有：①函数与方程，方程的根与图像的交点可相互转化；②函数与不等式，将不等式的大小关系转化为函数图像的位置关系，③函数与数列，数列是函数的一个特例，利用函数性质研究数列性质；④函数与几何等等.作为函数综合应用的一个方面，将某些问题转化为函数问题，然后综合利用函数的诸种性质求解.●实例点津【例1】如图所示，ABCD是边长为a的正方形，今在AB、BC，CD、DA上分别取A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=x，连A1B1C1D1得正方形A1B1C1D1

3、，设其面积为S，求S关于x的函数式，并求A1在何处时S最小，最小为多少?【点津】由AA1=x，易知其内接正方形边长，因面积函数为二次函数，故易求其最值.【解答】∵AA1=x，∴A1B=a-x，A1B=A1B2+BB=(a-x)2+x2=2x2-2a+a2，(0≤x≤a)∴S(x)=2x2-2ax+a2=2(x-)2+，∴当x=，即A1B1C1D1位于四边中点时，S有最小值.【归纳】平面几何中的应用题，利用几何图形性质，列出方程(或方程组)，然后确定函数解析式及其定义域.【例2】设某函数f(x)定义域为［a，b］，其中a>0，b=

4、a+3-2004，若某一常数m满足：a

5、AB

6、很小，故可近似地看作P在线段AB上，∵kAP=kAB，∴由斜率公式得f(m)=f(a)+(m-a)·即为所求.【归纳】在连续的函数图像上，取极小的一段，则这一段可近似地看作是一条线段，这种“化曲为直”的思想，

7、是极限的数学思想《微积分》就是建立在这种数学思想基础之上的一门学科.【例3】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx，其中a，b，c∈R,且a>b>c，a+b+c=0.地址西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层恒谦教育资源电话029-86570103第5页共5页(1)求证：两函数的图像交于不同两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1长度的取值范围.【点津】(1)将该问题转化为“二次方程有两个不同实根”的问题.(2)确定某一对象为长度函数的自变量，把“长度的取值范围”，转化为“函数的值域”

8、.【解答】(1)从方程组中消去y并依x聚项整理得：ax2+2bx+c=0，∵a+b+c=0且a>b>c，∴a>0且c<0，故由Δ=4b2-4ac>0知上述方程有两个不同的实根，故知两函数的图像交于不同两点A，B.(2)设方程ax2+2bx+c=0的两根为：x1与x2，则x1+x2=-，x1x2=

9、A1B1

10、2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-)2-4()=4［(+)2+］，∵a>b>c，a+b+c=0，a>0，c<0，∴a>-a-c>c1>-1->，∴∈(-2，-)，∵f()=4(+)2+3的对称轴为=-，故当∈(-

11、2，-)时，f()是减函数，∴

12、A1B1

13、2∈(3，12)

14、A1B1

15、∈(，2).【归纳】将某些问题转化为函数的定义域、值域、单调性问题，是“函数思想”的具体体现.【例4】设f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间（0，+∞）上的最大值是5，求F(x)在(-∞，0)上的最小值.【点津】注意到F(x)-2是奇函数，其最大值是3.【解答】令(x)=F(x)-2=af(x)+bg(x),则(x)为奇函数，且在(0，+∞)上有最大值3，∴F(x)在(-∞，0)上有最小值-1.【归纳】构造新函数，利用“

16、新函数”的奇偶性求解，是解答本题的技巧所在.●对应训练一、选择题1.某旅社有客床100张，各床每天收费10元时可全部客满，若每床每天收费每提高2元，便减少10张客床租出，这样，为了减少投入，多获利，每床