《数学月刊》同步讲台第4课

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1、同步讲台第4课充要条件•考点搜索1.能判断真假的语句叫做命题，不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题•复合命题的构成形式有三种，分别表示为p或chp且q,非P・2.P真真假假q真真假“且彳（真）（假）（假）（假）p或q（真）（真）（真）（假）非p（假）（假）（真）（真）3.设原命题的形式为:若p则G则其逆命题形式为若q则刀否命题形式为若R则「q,逆否命题形式为若「g则「p.4.〃既是q的充分条件，又是q的必要条件，则称〃是q的充要条件.•实例点津【例1】己知P:在AABC中,sin（A+

2、B・C）二sin（A+C・B）;g:ZABC是A为顶点的等腰三角形.说明卩是号的什么条件，并证明你的结论.【点津】化简等式，分别考察p*qnp是否成立.【解答】〃是g的必要不充分条件.证明：由”知:sin（Ji-2C）=sin（Ji-2B）=>sin2B二sin2C取3=^,0壬则满足sin2B=sin2CnABC不是等腰三角形,63••q•又由q矢0:AABC是A为顶点的等腰△，故=>2B=2C=>sin（兀-2B）=sin（肌-2C）=>sin（A+B-C）=sin（A+C-B）,q=>p.综上所述知护是q的必要不充分条

3、件.【归纳】欲证举“反例即可”，这叫做：“肯定结论须证明，否定结论举反例【例2]求关于兀的不等式血2.妙+1>（）的解集为R的充要条件.【点津】依首项系数Q的正、负、零而定.【解答】当。二0时，不等式的解集为R;当°<0时，化原不等式为兀2认+丄<0,其解不可能是r；a当a>0时"a>0a>0△<0a2-4«<0a>0=>0

4、xx2-3x+20},当a为何值吋:①〃是q的充分不必要条件②°是q的必要不充分条件®p是q的充要条件【点津】化简集合A,集合B,并注意pnq与AqB的等价性.【解答】由p:A={x（x-1）（x-a）0},由q:B二[1,2].是q的充分不必要条件，/.AcB且故A二[1,。]=>1^a<2.②•・•〃是g的必要不充分条件.・・・BuA且故A二[1,刃且a>2=>a>2.③“是q的充要条件,.・.A=B=>a=2.【归纳】当命题的形式是集合时，其充分条件和必要条件的判定，就是集合包含关系的判定.【例4】证明：/(x)=x

5、2+2wx+1的图像与兀轴止半轴至少有一个交点的必要不充分条件是:1.【点津】原命题等价于:关于兀的方程,+2尬丫+1二0至少有一个正根的必要不充分条件是劝2$i.【解答】若关于兀的方程2+2处+1=0有正实根，则故必要性成立.*/m-1时，方程x2+2x+1=0无正根，故充分性不成立.综上所述知:关于x的方程x2+2^a+1=0至少有一个正根的必要不充分条件是m2^l,亦即原命题成立.【归纳】“等价转化”是重要的数学思想方法.•对应训练一、选择题1.已知全集为U,M,NWU,则“MWN”是”的()A.充分不必要条件B.必要不

6、充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.“p且q成立”是“p或q成立的”()A.B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设⑷・0

7、HO,则向量方是向量aM的()A.B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.非零向量a,b共线的充要条件是()A.a+gOB.a-b=OC.

8、a=bD.存在实数入，使得a二入方5.已知P:(al)(y+1)・(z+2)=0,Q:(x-1)2+(y+1)2+(z+2)2=0(x,y,zeR),则P是0成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要

9、条件D.既不充分又不必要条件6.平面内一动点P到两定点A、B距离Z差的绝对值为2004是“P的轨迹是双曲线”的()A.B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.设条件关于x的方程:(1・/)兀2+2处・1二0的两根一个小于0,—个大于1,若“是q的必要不充分条件，则条件q可设计为()A.me(-l,l)B.加£(0,1)C.???e(-l,0)D.me(-2,1)8.设两直线为l'Ax+By+C]=O,/2：42x+B2y+C2二0,(42〃2©工0)，则~~~—=-—是/)//Io的()A?B?C?A.

10、充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9.如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要非充分条件，则丁是甲的()A.B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件10.关于兀的方程启+2兀+1二0至少有一个负根的充要条件是(