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1、实用文案同步讲台第5课空间的距离●考点搜索1.点到直线距离从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这点到这条直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3.两平行直线间的距离两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的距离.4.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.5.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面
2、的距离叫做这条直线和平面的距离.6.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.●实例点津【例1】如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.例1题图(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；(2)求AB和CD间的距离；(3)求EF和AC所成角的大小.【解答】(1)证明：连结AF，BF，由已知可得AF=BF.又因为AE=BE，所以FE⊥AB交AB于E.同理EF⊥DC交DC于点F.所以EF是AB和CD的公垂线.(2)在Rt△BEF
3、中，BF=,BE=,所以EF2=BF2-BE2=2，即EF=.由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为.(3)过E点作EG∥AC交BC于G，因为E为AB的中点，所以G为BC的中点.所以∠FEG即为异面直线EF和AC所成的角.在△FEG中，EF=,EG=,FG=,cos∠FEG=.所以∠FEG=45°所以异面直线EF与AC所成的角为45°．标准文档实用文案【归纳】本题考查平面及其基本性质.平面图形直观图的画法、平行直线、异面直线所成的角，异面直线的公垂线和异面直线的距离等知识的综合应用.【例2】菱形ABCD中，∠BAD=60°,AB=10cm,PA
4、⊥平面ABCD,且PA＝5cm,求(1)P到CD的距离；（2）P到BD的距离；（3）P到AD的距离.【点津】如图,因为A是P在平面ABCD上的射影，所以只要过点A在平面ABCD内分别作CD、BD的垂线，确定垂足的位置，由三垂线定理和勾股定理，求得点P到CD、BD的距离.【解答】（1）∵PA⊥平面ABCD，∴点P在平面ABCD上的射影为A，过A在平面ABCD内作AE⊥CD于E例2题图(∵∠ADC=120°，∴E在CD的延长线上).连PE，由三垂线定理得PE⊥CD.∴线段PE之长就是P到CD的距离.在Rt△ADE中，AE＝5cm在Rt△PAE中，PE=10cm,∴P到CD
5、的距离为10cm.(2)连AC、BD，交点为O，∵AC⊥BD,∴PO⊥BD,线段PO之长就是P到BD的距离，易知PO＝10cm.(３)∵PA⊥平面ABCD,AD平面ABCD，∴PA⊥AD.故线段PA之长就是P到AD的距离，PA＝5cm.【归纳】求点到直线的距离，除利用平面图形性质和直线与平面垂直的性质外，三垂线定理和它的逆定理是不可忽视的重要方法.例3题图（1）【例3】如图(1),正四面体ABCD的棱长为1，求：（1）A到平面BCD的距离；（2）异面直线AB、CD之间的距离.【解答】（1）过A作AO⊥平面BCD于O，连BO并延长与CD相交于E，连AE.∵AB=AC=A
6、D,∴OB=OC=OD.∴O是△BCD的外心.又BD＝BC＝CD，∴O是△BCD的中心，∴BO=BE=.又AB＝1，且∠AOB=90°,∴AO=.∴A到平面BCD的距离是.(2)如图（2）,设AB中点为E，连CE、ED.例3题图（2）∵AC=BC,AE=EB.标准文档实用文案∴CD⊥AB.同理DE⊥AB.∴AB⊥平面CED.设CD的中点为F,连EF，则AB⊥EF.同理可证CD⊥EF.∴EF是异面直线AB、CD的距离.∵CE=,∴CF=FD=,∠EFC=90°,EF=.∴AB、CD的距离是.【归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的
7、公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.【例4】在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a且∠ADC=arcsin,又PA⊥平面ABCD,PA=a,求：(1)二面角P—CD—A的大小;(2)点A到平面PBC的距离.【解答】(1)作AF⊥DC于F,连结PF,∵AP⊥平面ABCD,AF⊥DC,∴PF⊥DC,∴∠PFA就是二面角P—CD—A的平面角.在△ADF中,∠AFD=90°,
