南航矩阵论期中考试参考答案

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1、南京航空航天大学双语矩阵论期中考试参考答案（有些答案可能有问题）Q11解矩阵A的特征多项式为所以矩阵A的特征值为和.由于，所以.又故.其余的二阶子式（还有7个）都包含因子，所以.最后，所以.因此矩阵A的不变因子为，.矩阵A的初等因子为，.2解矩阵B与矩阵C是相似的.矩阵B和矩阵C的行列式因子相同且分别为，.根据定理：两矩阵相似的充分必要条件是他们有相同的行列式因子.所以矩阵B与矩阵C相似.Q21)一组基为，，.维数为3.2)设k是数域P中任意数，是V中任意元素.明显满足下面四项.；；；，当且仅当时.所以是线性空间V上的内积.3)利用Gram-Schmidt正交化方法，可

2、以依次求出，，，.则，，是标准正交基.1)设，，k为数域P上的任意数...所以T是V上的线性变换.，，..矩阵A称为线性变换T在下的矩阵.Q31)所以1和3x2-1是正交的.2)，3)设S中的任意向量为K1+K2(3x2-1)，则.明显看出当K1=K2=0时上式值最小。所以x在S上的最佳逼近为0向量.Q41)维数为3，一组基为，，.2)或表示成.则线性变换在基1，x，x2下的矩阵为.1).当的时候，秩，所以不可对角化.2)，，，.，Q51)为无效范数，为有效范数.对于，当时，.不满足齐次性，所以为无效范数.对于，当，，，时.，而，所以不满足三角不等式.为无效范数，另外根

3、据Minkowski不等式，只有当才满足三角不等式的条件，也可也得到为无效范数.对于，容易证明满足非负性，齐次性和三角不等式。故为有效范数.2)yx11Q61)证明存在可逆矩阵P，使，其中为对角矩阵.2)证明A的特征值互异.3)证明对于A的每一个特征值都有秩，是的重数.4)矩阵A可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量.证明：充分性：设A的n个线性无关的特征向量为X1，X2，X3，…，Xn.则，因为线性无关，故P为满秩矩阵，所以，即存在可逆矩阵使得，即Ａ可对角化．必要性：已知存在可逆矩阵Ｐ使，设，则有，可知为A的特征值，Pn为A的特征向量.即A有n个线性无关的特征向

4、量.对于Q1中的矩阵，是不可对角矩阵.因为当特征值为0.秩为根据Q1的初等因子可得Jordan形矩阵为.