控制工程-矩阵论论文

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1、编号：66南京邮电大学研究生课程论文矩阵论学生姓名：**********学号：121605*****专业班级：控制工程手机号码：18805*******矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵求解中的应用摘要：控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。“运动”是物理学上的一个概念,它是通过求系统方程的解x(/)、y(f)来分析研究的。由于状态方程是矩阵微分(差分)方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次

2、状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数目录一、矩阵论的发展历史1二、矩阵函数的定义及其计算12.1矩阵函数的定义12.2矩阵函数的计算22.2.1禾1

3、用HamiltoClayey定理2222利用待定系数法32.2.3利用相似对角化法3三、矩阵函数的应用43.1问题的提出43.2问题的求解53.2.1矩阵指数的基本性质53.2.2状态转移矩阵如）的儿种计算方法6四、应用小结9五、总结与感悟9六、参考文献10一、矩阵论的发展历史矩阵作为一种重要的代数工具，其出现的历史可以追溯至公元前，然而矩阵真正成为一个独

4、立的概念并被加以研究的历史开始于19世纪50年代。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来白于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。1850年，英国数学家西尔维斯特(SylveSter,1814-1897)^研允方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。1855年，英国数学家凯莱(Caylag,1821-1895)在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。1858年，凯莱在《矩阵论的研究报告》中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同

5、时，定义了零矩阵、单位阵等特殊矩阵，更重要的是在该文屮他给出了矩阵相乘、矩阵可逆等概念，以及利用伴随阵求逆阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律，两个非零阵乘积可以为零矩阵等结论，定义了转置阵、对称阵、反对称阵等概念。1878年，德国数学家弗罗伯纽斯(Frobeniws,1849—1917)在他的论文中引入了入矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，证明了两个入矩阵等价当且仅当它们有相同的不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义,1879年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念。矩阵的理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基木形

6、成°到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它己经发展成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。二、矩阵函数的定义及其计算2・1矩阵函数的定义OO设幕级数工沁的收敛半径是R,且当z

7、，记为k=0/(A),即/(A)=工％屮k=0根据这个定义，可以得到在形式上和数学分析中一些函数类似的矩阵函数。如sinA,cosA,ln(/+A)sin(-1)“們(2R+1)!(VAgCnxn),cos(VAgC,x?,),1叩+小=£(一1)1如k=0k+19(A)Vl)(VAgC"x"),分别称为矩阵指数函数、矩阵正眩函数、矩阵余眩函数，它们均绝对收敛。2.2矩阵函数的计算以上利用收敛矩阵幕级数的和定义了矩阵函数/(A),在具体应用屮，要求将f(A)所代表的具体矩阵求出来，即求出矩阵函数的值。下面将介绍儿种求矩阵函数的方法：2.2.1利用Hamilton

8、-Cayley定理利用Hamilton-Cayley定理找出矩阵方幕之I'可的关系，然后化简矩阵幕级数，求出矩阵函数的值。例1：己知A二°1,求£川。-10解：A的多项式

9、A/—A

10、=A2+1,由Hamilton-Cayley定理知：A2+/=0,即A2=—I,A3=—A,A4=IfA'=A,,•••即A2k=(-1/7,A'"】=(一1)*/1仗=1,2,…)，故81eAt=^-Aktk/24、rt/35、tt1+tF••I2!4!丿<3!5!丿=（cosr）/+（sinr）A（costsin/'‘-sinfcosJ222利用待定系数法利用矩阵的Jordan标

11、准型求解矩阵函数的方法比