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1、“矩阵论”课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师：姓名：学号：专业：机械工程类别：学硕上课时间：2014年9月至2014年12月考生成绩：阅卷评语：阅卷教师(签名)矩阵论在机械传动方面的应用摘要：矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用问题，又适合于现代理论数学的抽象结构。而本文着重讨论矩阵在机械传动中的应用，根据滚动轴承几何学、运动学基本原理和Hertz弹性体接触理论，同时考虑径向载荷、轴向载荷、球离心力和陀螺力矩的影响,建立了角接触球轴承刚度矩阵的计算模型。计算了某型发动机角接触球轴承在实际工况中的刚度矩阵，为该型发动机轴承-转子系统的动态分析提供了较为准确的边
2、界条件。关键词：角接触球轴承刚度矩阵机械传动一、引言矩阵理论是一门研究矩阵在数学上的应用的科目。它本来是线性代数的一个小分支，但其后由于陆续在图论、代数、组合数学和统计上得到应用，渐渐发展成为一门独立的学科。经过多年来人们对矩阵的研究，现在已经有很多矩阵的计算方法运用到实际生活中，且一些方法对人们的工作学习有很大的帮助。而刚度矩阵是将一个受力物体划分为n个单元,各单元刚度矩阵集成为结构总刚度矩阵，实现了从单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵的过程。在机械传动中，我们通常在分析某个零部件时，都要计算该零部件在实际工况中的刚度矩阵，为后续的动态分析提供较为准确的边界条件。而角接触
3、球轴承是轴承－转子系统中广泛使用的一种支承，在机械传动中占据重要地位，其刚度参数对转子的动态特性有重要影响，所以很有必要建立角接触球轴承在实际工况中的刚度矩阵。二、矩阵论在机械传动方面的应用1、问题描述角接触球轴承是轴承－转子系统中广泛使用的一种支承，其刚度参数对转子的动态特性有重要影响。为提高轴承－转子系统的动态分析精度，建立了角接触球轴承刚度矩阵计算模型，模型考虑了径向载荷、轴向载荷、球离心力和陀螺力矩的影响。计算了某型发动机角接触球轴承在实际工况中的刚度矩阵，为该型发动机轴承－转子系统的动态分析提供了较为准确的边界条件[1]。以某型发动机支承轴承为例,根据其实际
4、工况,8计算角接触球轴承的刚度矩阵。轴承的结构参数为:轴承内径为190mm,外径为290mm,球直径为28mm,球数28,内、外圈沟道沟曲率半径R分别为14.42mm和14.56mm,初始接触角为。运行工况:F=[15000,18000,35000,100,300]T,内圈转速为1500r/min,外圈静止。2、方法简述1）基本假设角接触球轴承在外载荷及球离心力和陀螺力矩的共同作用下,使轴承内外圈产生相对位移，如图1所示。在考虑轴承实际运行的基础上建立角接触球轴承力学模型时，作如下假设：(1)轴承受载时，外圈固定，内圈产生刚体位移。(2)轴承所有变形均发生在球上，且变
5、形在球材料弹性范围内。(3)球与沟道之间的弹性接触力与接触变形的关系满足Hertz接触理论。图1角接触球轴承坐标系及其受载变形示意图2）刚度矩阵的理论推导①球的运动根据套圈控制理论[2],对外圈固定、内圈随轴系运转的角接触球轴承,建立如图2所示坐标系。球的公转速度、自转速度以及各运动量间有如下关系8图2球的运动示意图式中：为轴承内圈转速，；为球直径，为轴承球组节圆直径，、为球与外、内圈间的压力角；为球的姿态角，且有。②球受力在轴承运转中，球承受着多种载荷。在满足工程计算精度的前提下，本例主要考虑球所受的离心力和陀螺力矩。式中:为球的密度，J为球的转动惯量。8图3为球的
6、受力示意图，根据球上力和力矩的平衡条件[3]，可得第j个球的平衡方程图3球的受力图式中:、为第j个球与外、内圈间的接触载荷；、为第j个球与外、内圈间的压力角。③位移-变形关系固定外圈沟曲率中心为坐标原点A,在平面内,轴承沟曲率中心与球的位移变形关系如图4所示。在外载荷作用下,球中心由移动到,内圈沟曲率中心由移动到。根据文献[4],得以下方程8图4位移-变形关系示意图式中:、为内圈沟曲率中心最终位置坐标,为球与外圈的初始接触角,D为内、外圈沟曲率中心初始距离,且；、为外、内圈沟曲率半径系数;为球旋转时的中心半径,且为第j个球与基准球间的夹角,、为第j个球与外、内圈间的接
7、触变形,、为第j个球与外、内圈间的实际接触角,,为第j个球中心最终位置坐标。根据Hertz接触理论[5],第j个球与外、内圈间的法向作用力可表示为式中:、为第j个球与外、内圈间的接触刚度系数,与轴承的结构参数和材料有关。3)刚度矩阵根据轴承受力平衡条件[6],作用在轴承上的外力与所有球对轴承内圈的作用力平衡,可得以下平衡方程8采用Newton-Raphson迭代法[7]对(5)、(6)、(14)和(15)式进行求解,直到满足收敛精度为止,可得角接触球轴承在一定工况下的变形,,,，等参数。由刚度矩阵的定义,可得角接触球轴承的刚度矩阵K为3、实验数据和结
