《新步步高》考前三个月高考二轮复习数学（江苏专用理科）知识考点题型篇专题6立体几何与

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1、第26练空间向量解决立体几何问题两妙招“选基底”与“建系”［题型分析•高考展望］向量作为一个工具，其用途是非常广泛的，可以解决现高中阶段立体几何屮的大部分问题，不管是证明位置关系还是求解问题•而向量屮最主要的两个手段就是选基底与建立空间直角坐标系.在高考中，用向量解决立体几何解答题，几乎成了必然的选择.常考题型精析题型一选好基底解决立体几何问题例1如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于°,点M、N分别是川5、CD的中点.(1)求证：MNLAB,MN±CD；⑵求MN的长；(3)求界面直线/N与CM夹

2、角的余弦值.点评对于不易建立直角坐标系的题目，选择好“基底”也可使问题顺利解决.“基底”就是一个坐标系，选择时，作为基底的向量一般为已知向量，且能进行运算，还需能将其他向量D线性表示.变式训练1己知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB.BC、CD、DA的屮点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD//平而EFGH；⑶设M是EG和皿的交点，求证：对空间任一点0,有0M=^0A+0B+0C+0D).题型二建立空间直角坐标系解决立体几何问题例2（2015-湖南）如图，已知四棱台ABCD4BGD

3、的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA}=6,且缶h丄底面ABCD，点P,0分别在棱DD，上.⑴若P是DD］的中点，证明：力耳丄P0⑵若P0〃平面/刃Mi，二面角PODA的余弦值为号，求四面体ADPQ的体积.点评（1）建立空间直角坐标系前应先观察题目中的垂直关系，最好借助已知的垂直关系建系.（2）利用题目中的数量关系，确定定点的坐标，动点的坐标可利用共线关系（乔=加），设出动点坐标.⑶要掌握利用法向量求线面角、二面角、点到面的距离的公式法.变式训练2如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，刊丄底WlABCD

4、,£,F分别是PC,7Y）的中点,R4=4B=1,BC=2.（1）求证：EF〃平面/MB；（2）求证：平面丹D丄平面PDC.高考题型精练1.(2015-南京模拟)已知正方体4BCD—4BCQ小，点E为上底面力C的中心，若庞=石

5、+xAB+yAD,则x,y的值分别为.2.已知平面MC,点M是空间任意一点，点M满足条件筋=^OA+^OB+^OC,则直线满足•①与平面ABC平行；②是平面ABC的斜线；③是平面ABC的垂线；④在平而ABC内.3.(2015-连云港模拟)己知矗=(1,5,-2),荒=(3,1,z),若

6、乔丄荒，丽=(兀一1,j,一3),且3P丄平面/BC,则实数x,y,z分别为.4.已知a=(2,-1,3),〃=(—1,4,一2),c=(7,5,2),若a,b,c三向量共面，则实数1=.5.如图，在长方体ABCD—A、BCD中，AB=2,儿h=也,AD=2yf2,P为CQ]的中点，M为3C的中点.则与FM所成的角为.6.在正方体ABCD—ABCQ屮，P为正方形四边上的动点，O为底面正方形ABCD的屮心，M,N分别为BC的屮点，点0为平面ABCD内一点，线段D&与OP互相平分，则满足诡=捕介的实数久有个

7、.7.如图，在正方体ABCD—ABCD棱长为q,M、N分别为//GB0P和ACk的点，A]M=AN=^t则MN与平面BB、CC的位置关系是8•如图，在长方体ABCD-ABXCD中，AAl=AD=l.E为CD的中点.(1)求证：BiE丄ADl；⑵在棱AA｝上是否存在一点P,使得DP〃平面BSE2若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.9.(2014-课标全国II)如图，四棱锥P-ABCD屮，底ABCD为矩形，丹丄平面/BCQ,E为PD的中点.(1)证明：〃平面AECx⑵设二面角D-AE-C为60。，4

8、P=1,AD=£,求三棱锥E~ACD的体积.Bi10.(2015-苏州模拟)如图所示,在直三棱柱ABC-AxBxCx中,04=4,CB=4,CC】=2迈，Z/C3=90。，点M在线段//i上.(1)若AyM=3MB{,求异面直线如W和0C所成角的余弦值；(2)若直线与平面ABC所成角为30。，试确定点M的位置.11.在四棱锥P—ABCD中，PD丄底面ABCD，底面MCQ为正方形，PD=DC,E、F分别是AB.的中点.(1)求证：EF丄CD；⑵在平面丹。内求一点G,使GF丄平面PCB,并证明你的结论.C求线段力出的

9、长.12.(2015-天津)如图，在四棱柱4BCD4iBCD中,侧棱力説丄底而4BCD,ABA.AC,AB=,AC=AAi=2fAD=CD=远,且点M和N分别为和DQ的中点.(1)求证：MN〃平面ABCD；(2)求二面角DSCB的正弦值；(3)设E为棱川厲上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为*,答案精析第26练空间向量解决立体几何问题两