高一数学人教A版必修4学案：122同角三角函数的基本关系含答案

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1、sina=cosotana；cosa=sinatana1・2.2同角三角函数的基本关系【明目标、知重点】1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式2理解同角三角函数的基本关系式3能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.填要点•记疑点探要点•究所然［情境导学］大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就是著名的“蝴蝶效应”，他本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相

2、干的事物，却有着这样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题.探究点一同角三角函数的基本关系式思考1写出下列角的三角函数值，观察他们之间的关系，猜想之间的联系？你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这两个规律？sinacosatanasina+costana=艺豈的变形公式：

3、45°,sin60°cos60°=伽60°，sin150。cos150°=tan150°.联系：sin230°+cos230°=l，sin245°+cos245°=l，sin260°+cos260°=l，sin2150°+cos2150°.?.2.sinasunz+cos心丄，tan心忌.sinarycosaxxtana.同一个角a的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角«的止切;思考2如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？同角三角函数的基本关系式对任意角a都成立吗？答设点P(x,

4、y)为a终边上任意一点，P与0不重合.P到原点的距离为r=^/?+y>0,ytana=.x2I2于是sin2a+cos2«=(^)2+(^)2=1,口ri・2i2,sine?BJsin么十cosa=1,tan(z=・cosa同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义.所以sin2a+cos2a=l对于■任意角a^R都成立，而賠=tana并不是对任意角«eR都成立，这时qH刼+彳，圧乙vUbtXZ■思考3对于平方关系sin2«+cos2a=1可作哪些变形？对于商数关系7^7=tana可作哪

5、些变VyJoCX形？答sin気=1—cos2«,cos2a=1—sin2a(sina—cosa)~=1—2sinacosa,(sina+cosa)2=1+2sinacosa..sinasina=cosa・tana,cosa=7・tan«探究点二三角函数式的求值思考已知某角的一个三角函数值，再利用sin2a+cos2a=l求它的其余三角函数值时，要注意角所在的彖限，恰当选取开方后根号前面的•正负号，一般有以下三种情况:类型1:如果已知三角函数值，且角的象限已知，那么只有一组解.3例如：已知sina=m

6、且°是第二象限角，则43cosa=tana=—孑类型2：如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值的止负确定角对能在的象限，然后求解，这种情况一般有两组解.例如：已知tan0=—y[3,求sin0,cos".答**cos^=tan^=-迈.sin〃=-需cos0.rh.*.4cos2<9=1,cos2^9=^.sin2^+cos2^=l,sin0=—yf3cos3.当〃为第二彖限角时，cos〃=—sin&=耳当&为第四象限角时，cos〃=*,sin&=—¥类型3：如果所给的三角

7、函数值是由字母给出的，冃没有确定角在哪个象限，那么就需要进行讨论.例如：已知cosam,且

8、加

9、<1,求sina,tana.答Vcosa=m,且

10、加

11、<1,sin«=±^/1—cosP=珂1—加二当a在第一、二象限时，sina=^/l—,当a在第三、四彖限时，sina=—yl1当a终边在尹轴上时，sin(z=±l,tana不存在.例1已知sina=—求cosa,tana的值.解因为sin«<0,sinaH—1,所以a是第三或第四象限角.由sin2a+cos2a=l得7*・21cosS=1—sirTa

12、=12=西_25・如果0C是第三象限角，那么COSG(<0.于是cosa=—45从而tana=Xg=(—fX4H.43如果a是第四象限角,那么cosa=©tana=—孑反思与感悟同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用.4跟踪训练1已知tan(z=y,且a是第三象限角，求sina,cosa的值.5?sina4E.4—m由tan«=-—=t,侍sin