2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.8立体几何中的向量方法(二).

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1、第八章立体几何与空间向量8.8立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离试题理北师大版基础知识自主学习ET知识梳理1.两条异面直线所成角的求法设2,方分别是两异面直线人，的方向向量，则Z与厶所成的角e曰与b的夹角B范围(o,y][0,兀]求法0la•引a-ba\bCOSP——I

2、

3、f

4、ab2.直线与平血所成角的求法设直线/的方向向量为平面Q的法向量为力，直线/与平面。所成的角为0,a与n的夹角为0，则sin〃=

5、cosP

6、='n.

7、a

8、3.求二面角的大小⑴如图①，AB,①分别是二面角a-

9、1-p的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小0=〈旋OJ）.（2）如图②③，口，处分别是二面角G-1-13的两个半平面a,B的法向量，则二面角的大小〃满足Icos〃

10、=

11、cos

12、AB=AB=~x—xi~7+~口_乃一~'7+~力一的（2）点到平面的距离如图所示，已知/〃为平面a的一条斜线段，/7为平而a的法向量

13、，则〃到平面a的距离的二面角为（）A.45°B.135°C.45°或135°D.90°答案c解析cos5,ri)旷n1nns小十。-m-lX^~2'即5,刃—5・・••两平面所成的二面角为45°或180°-45°=135°.X）,二面角的范围是>,则二面角1）,则两平面所成5,n）则【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“丁”或“X”）（1）两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.（X）⑵直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.（3）两个平面的法向量所成的角

14、是这两个平面所成的角.（X）（4）两异面直线夹角的范围是（0,y],直线与平面所成角的范围是[0,[[0,町.（J）（5）若二面角a—a—B的两个半平面Q,〃的法向量勿，巾所成角为—0的大小是开一■〃.（X）1.（2016•烟台模拟）已知两平面的法向量分别为m=（0,1,0）,力=（0,1,2.己知向量2Z7,刀分别是直线/和平面。的方向向量和法向量，若COS/与a所成的角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°答案A解析设/与a所成角为“，Tcos<227,n）=一£，Asin0=

15、co

16、s<227,n）

17、=

18、,V0°W“W90。，A0=30°.故选A.1.（2016•郑州模拟）如图，在空间直角坐标系屮有直三棱柱ABC—A假G,CA=CG=2CB,则直线BG与直线A&所成角的余弦值为（）A.迺B.申C.半D.半b364答案A解析设CA=2f则C(0,0,0),水2,0,0),$(0,0,1),G(0,2,0),6(0,2,1),可得向量乔=(-2,2,1),厉=(0,2,-1)由向量的夹角公式得cos〈乔，誌〉0+4—1#4+4+1X寸0+4+12.（教材改编）如图，正三棱柱（底面是

19、正三角形的直棱柱）ABC-A^G的底面边长为2,侧棱反为2並则AG与侧面ABBA所成的角为JI答案T解析以力为原点，以旋旋（处丄個，游所在直线为坐标轴（如图）建立空间直角坐标系,设〃为畀/屮点，则力（0,0,0）,G（l,2迈），〃（1,0,2迈），・••花=（1,羽，2迈）,Ab=（1,0,2曲.ZGAD为力G与平而ABM所成的角，cosZCiAD=花■应ACi\AD_1,2迈X1,0,2迈_y[12Xy[9_2JI又TZG初e0,—JI:.ZGAD=—,PN,如果ZBPM=1."是二面

20、角a—AB—B棱上的一点，分别在平而Q、0上引射线/级、Z〃川-45°,加PN=&°,那么二面角a_AB—B的大小为.答案90°解析不妨设PM=a,PN=b、如图,作MEIAB予E、NFLAB于几•:乙EPM=ZFPN=45°,:•画•FN=(75/-7^)•(pn-7p)=弘PN-PbPF-PE^PN+~PE^PFababT_Tab,ab+可=0，•：E4础・・・二面角a-AB-fi的大小为90°.题型分类深度剖析题型一求异而直线所成的角例1（2015•课标全国I）如图，四边形力妙为菱形，ZAB

21、C=120°,E,一侧的两点，处丄平面価皿，M丄平面/财，BE=2DF,AEIEC.(1)证明：平面丄平面//匕(2)求直线与直线6F所成角的余眩值.⑴证明如图所示，连接劭，设BDCAC=G,连接必，FG,EF.在菱形/I妙中，不妨设67?=1.由ZABC=120°,可得AG=GC=£.由处丄平面ABCD,AB=BC=2,可AE=EC.又AEJEC,所以％=/,且EGVAC.在Rt△月％中，可得BE=£,故〃尸=乎.r在R仏FDG中，可得尸0=¥-・在直角梯形劭/疋中