高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《2.4.1抛物线及标准方程》评估训练

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1、2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程双基达标 (限时20分钟)1.抛物线y2=-8x的焦点坐标是(  ).A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)解析 依题意,抛物线开口向左,焦点在x轴的负半轴上,由2p=8得=2,故焦点坐标为(-2,0),故选B.答案 B2.若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为10,则点P的坐标为(  ).A.(8,8)B.(8,-8)C.(8,±8)D.(-8,±8)解析 设P(xP,yP),∵点P到焦点的距离等于它到准线x=-2的距离,∴xP=8,yP=±8,故选C.答案 C3.以双曲线-=1的右顶点

2、为焦点的抛物线的标准方程为(  ).A.y2=16xB.y2=-16xC.y2=8xD.y2=-8x解析 由双曲线方程-=1,可知其焦点在x轴上,由a2=16,得a=4,∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0),∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则由=4,得p=8,故所求抛物线的标准方程为y2=16x.答案 A4.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是________.解析 由抛物线的方程得==2,再根据抛物线的定义,可知所求距离为4+2=6.答案 65.若直线ax-y+1=0经过抛物线y2

3、=4x的焦点,则实数a=________.解析 抛物线y2=4x的焦点为(1,0),代入ax-y+1=0,解得a=-1.答案 -16.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)准线方程是y=3;(2)过点P(-2,4);(3)焦点到准线的距离为.解 (1)由准线方程为y=3知抛物线的焦点在y轴负半轴上,且=3,则p=6,故所求抛物线的标准方程为x2=-12y.(2)∵点P(-2,4)在第二象限,∴设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=2py(p>0),将点P(-2,4)代入y2=-2px,得p=2;代入x2=2py,得p=1.∴所求抛物线的标

4、准方程为y2=-4x或x2=2y.(3)由焦点到准线的距离为,得p=,故所求抛物线的标准方程为y2=2x,y2=-2x,x2=2y或x2=-2y.综合提高(限时25分钟)7.动点到点(3,0)的距离比它到直线x=-2的距离大1,则动点的轨迹是(  ).A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线解析 已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x=-3的距离”,由抛物线的定义可判断,动点的轨迹为抛物线,故选D.答案 D8.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(  )

5、.A.2B.3C.D.解析 直线l2:x=-1为抛物线y2=4x的准线,由抛物线的定义知,P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l1的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离,即dmin==2,故选择A.答案 A9.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为________.解析 由抛物线方程y2=2px(p>0),得其准线方程为x=-,又圆的方程为(x-3)2+y2=16,∴圆心为(3,0),半径为4.依

6、题意,得3-(-)=4,解得p=2.答案 210.抛物线y=-x2上的动点M到两定点F(0,-1),E(1,-3)的距离之和的最小值为________.解析 将抛物线方程化成标准方程为x2=-4y,可知焦点坐标为(0,-1),-3<-,所以点E(1,-3)在抛物线的内部,如图所示,设抛物线的准线为l,过M点作MP⊥l于点P,过点E作EQ⊥l于点Q,由抛物线的定义可知,

7、MF

8、+

9、ME

10、=

11、MP

12、+

13、ME

14、≥

15、EQ

16、,当且仅当点M在EQ上时取等号,又

17、EQ

18、=1-(-3)=4,故距离之和的最小值为4.答案 411.已知动圆M经过点A(3,0),且与直线l:x=

19、-3相切,求动圆圆心M的轨迹方程.解 法一 设动点M(x,y),设⊙M与直线l:x=-3的切点为N,则

20、MA

21、=

22、MN

23、,即动点M到定点A和定直线l:x=-3的距离相等,所以点M的轨迹是抛物线,且以A(3,0)为焦点,以直线l:x=-3为准线,∴=3,∴p=6.∴圆心M的轨迹方程是y2=12x.法二 设动点M(x,y),则点M的轨迹是集合P={M

24、

25、MA

26、=

27、MN

28、},即=

29、x+3

30、,化简,得y2=12x.∴圆心M的轨迹方程为y2=12x.12.(创新拓展)设F(1,0),点M在x轴上,点P在y轴上,且(1)当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹C的方程;(2)

31、设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3

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