高中新课程数学（新课标人教A版）选修2-1《2.4.1抛物线及标准方程》评估训练

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1、2.4　抛物线2.4.1　抛物线及其标准方程双基达标　(限时20分钟)1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是(　　)．A．(2，0)B．(－2，0)C．(4，0)D．(－4，0)解析　依题意，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，由2p＝8得＝2，故焦点坐标为(－2，0)，故选B.答案　B2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为(　　)．A．(8，8)B．(8，－8)C．(8，±8)D．(－8，±8)解析　设P(xP，yP)，∵点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，∴xP＝8，yP＝±8，故选C.答案　C3．以双曲线－＝1的右顶点

2、为焦点的抛物线的标准方程为(　　)．A．y2＝16xB．y2＝－16xC．y2＝8xD．y2＝－8x解析　由双曲线方程－＝1，可知其焦点在x轴上，由a2＝16，得a＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4，0)，∴抛物线的焦点为F(4，0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则由＝4，得p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x.答案　A4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．解析　由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.答案　65．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2

3、＝4x的焦点，则实数a＝________.解析　抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，代入ax－y＋1＝0，解得a＝－1.答案　－16．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程是y＝3；(2)过点P(－2，4)；(3)焦点到准线的距离为.解　(1)由准线方程为y＝3知抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝3，则p＝6，故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y.(2)∵点P(－2，4)在第二象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，将点P(－2，4)代入y2＝－2px，得p＝2；代入x2＝2py，得p＝1.∴所求抛物线的标

4、准方程为y2＝－4x或x2＝2y.(3)由焦点到准线的距离为，得p＝，故所求抛物线的标准方程为y2＝2x，y2＝－2x，x2＝2y或x2＝－2y.综合提高（限时25分钟）7．动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是(　　)．A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线解析　已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.答案　D8．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)

5、．A．2B．3C.D.解析　直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2，故选择A.答案　A9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．解析　由抛物线方程y2＝2px(p>0)，得其准线方程为x＝－，又圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，∴圆心为(3，0)，半径为4.依

6、题意，得3－(－)＝4，解得p＝2.答案　210．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．解析　将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，可知焦点坐标为(0，－1)，－3<－，所以点E(1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过M点作MP⊥l于点P，过点E作EQ⊥l于点Q，由抛物线的定义可知，

7、MF

8、＋

9、ME

10、＝

11、MP

12、＋

13、ME

14、≥

15、EQ

16、，当且仅当点M在EQ上时取等号，又

17、EQ

18、＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.答案　411．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝

19、－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．解　法一　设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则

20、MA

21、＝

22、MN

23、，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，∴＝3，∴p＝6.∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.法二　设动点M(x，y)，则点M的轨迹是集合P＝{M

24、

25、MA

26、＝

27、MN

28、}，即＝

29、x＋3

30、，化简，得y2＝12x.∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.12．(创新拓展)设F(1，0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；(2)

31、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3