高中新课程数学（新课标人教A版）选修2-1《2.2.1椭圆及其标准方程(1)》评估训练

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1、2.2　椭圆2.2.1　椭圆及其标准方程双基达标　(限时20分钟)1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则

2、PF1

3、＋

4、PF2

5、等于(　　)．A．4B．5C．8D．10解析　由椭圆的标准方程得a2＝25，a＝5.由椭圆的定义知

6、PF1

7、＋

8、PF2

9、＝2a＝10.答案　D2．已知F1，F2是定点，

10、F1F2

11、＝8，动点M满足

12、MF1

13、＋

14、MF2

15、＝8，则动点M的轨迹是(　　)．A．椭圆B．直线C．圆D．线段解析　∵

16、MF1

17、＋

18、MF2

19、＝8＝

20、F1F2

21、，∴点M的轨迹是线段F1F2，故选D.答案　D3．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭

22、圆，则实数a的取值范围是(　　)．A．a>3B．a<－2C．a>3或a<－2D．a>3或－63或－6

23、＝29.答案　11或296．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；(2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解　(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．由椭圆的定义知2a＝＋＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由题意知2c＝10，2a＝26，所以c＝5，a＝13，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.综合提高（限时25分钟）7．已知

24、椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得

25、PQ

26、＝

27、PF2

28、，那么动点Q的轨迹是(　　)．A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线解析　如图，依题意：

29、PF1

30、＋

31、PF2

32、＝2a(a>0是常数)．又∵

33、PQ

34、＝

35、PF2

36、，∴

37、PF1

38、＋

39、PQ

40、＝2a，即

41、QF1

42、＝2a.∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆，故选A.答案　A8．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且

43、PF1

44、∶

45、PF2

46、＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)．A．5B．4C．3D．1解析　由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴

47、PF

48、1

49、＋

50、PF2

51、＝2a＝6，又

52、PF1

53、∶

54、PF2

55、＝2∶1，∴

56、PF1

57、＝4，

58、PF2

59、＝2，由22＋42＝(2)2可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为

60、PF1

61、·

62、PF2

63、＝×2×4＝4，故选B.答案　B9．若α∈(0，)，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析　方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为＋＝1.∵椭圆的焦点在y轴上，∴>>0.又∵α∈(0，)，∴sinα>cosα>0，∴<α<.答案　(，)10．椭圆＋＝1的两个焦点为F1和F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在

64、y轴上，那么

65、PF1

66、是

67、PF2

68、的________倍．解析　依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，设P点的坐标为(x1，y1)，由线段PF1的中点的横坐标为0，知＝0，∴x1＝3.把x1＝3代入椭圆方程＋＝1，得y1＝±，即P点的坐标为(3，±)，∴

69、PF2

70、＝

71、y1

72、＝.由椭圆的定义知

73、PF1

74、＋

75、PF2

76、＝4，∴

77、PF1

78、＝4－

79、PF2

80、＝4－＝，即

81、PF1

82、＝7

83、PF2

84、.答案　711．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．解　设所求椭圆的标准方

85、程为＋＝1(a>b>0)．设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)．∵F1A⊥F2A，∴·＝0，而＝(－4＋c，3)，＝(－4－c，3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5，0)，F2(5，0)．∴2a＝

86、AF1

87、＋

88、AF2

89、＝＋＝＋＝4.∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.12．(创新拓展)如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．解　由题意知点M在线段CQ上，从而有

90、

91、CQ

92、＝

93、MQ

94、＋

95、MC

96、.又点M在AQ的垂直平分线上，则

97、MA

98、＝

99、MQ

100、，