浙江师范大学数学分析考研真题

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1、浙江师范大学2005年研究生一（每小题8分，共48分）计算题1、求极限.解原式3分5分8分2、求级数的和.解作，则2分作，则因此5分于是，原式8分1、求级数的和.解因，故2分为了求，作，4分则5分6分因此，原式8分4、求的值.解原式4分8分5、求极限解因的周期为，2分故当为有理数时，存在正整数和整数使得，这时当时，，，4分而当为无理数时，，6分因此，原式8分6、求极限解原式4分8分二（14分）已知实数列收敛于，且，用定义证明也收敛于.证记，，则，，使得,3分因，故，使得，8分令，则当时，有14分三（20分）设和为二次可微函数，证明证，5分，15分因此，左右20分四

2、（20分）设在上连续，证明⑴⑵若，，且，则，，证记(1)令，则因此，左右10分（2）（用反证法）若不然，则使得，由极限的保号性，存在开区间使得，且当时，有，16分这与矛盾.20分五（16分）若不定积分为有理式，则应满足什么条件？解因，故当且仅当时，不定积分为有理式.16分六（16分）若在上可微，，求证内存在一个数列，使得单调，，且.证法1因在上可微，故，在上连续，在内可导，从而由拉格朗日中值定理知，使，即9分因，，故由海涅归结原则知，，从而.16分证法2由知，，，使得当时，2分，使当时，，，使当时，，，使得当时，6分用数学归纳法，得到一个数列，在闭区间上应用拉格朗

3、日中值定理，，使得10分由知，数列单调增，由数列满足和知13分由知16分七（16分）设，证明在上一致收敛.证法1，当时，当时，由对称性知当时，6分因，故对上述的，正整数使得当时，14分综上，当时，，对中的一切成立，这表明在上一致收敛.16分证法2当时3分由Dini定理，要证在上一致收敛.只需证明在上下面分，，，这四种情形来证明即知极限函数一定连续.7分而当时，当时，当或时，，而当时，10分于是，，有，即关于n单调，16分