资源描述：
《2012年人教大纲版高考题库考点11 数列的综合应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、温馨提示：此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。考点11数列的综合应用一、解答题1.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ22）（12分）函数f，定义数列如下：，是过两点，的直线与轴交点的横坐标.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求数列的通项公式.【解题指南】本题（Ⅰ）先求出直线的方程，然后利用数学归纳法进行证明，（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的相关结论写出数列的递推公式，根据递推公式的结构特征，构造新数列，求数列的通项公式.【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明2xn＜xn+1＜3.（ⅰ）当时，，直线的方程为，令，解得，所以.（ⅱ）假设时，结论成
2、立，即，直线的方程为，令，解得.由归纳假设知，，，-7-即.所以，即当时，结论成立.由（ⅰ）（ⅱ）知，对于任意的正整数，成立.（Ⅱ）由（Ⅰ）及.设，则，，数列是首项为，公比为的等比数列.所以，即数列的通项公式为.2.（2012·大纲版全国卷高考文科·Ｔ18）(12分)已知数列中，，前n项和.(Ⅰ)求,.(Ⅱ)求的通项公式.【解题指南】由，求；由，求出；求的通项公式时利用，导出与之间的关系，根据递推公式的特点，求通项公式.【解析】（Ⅰ），，.又，.(Ⅱ)由题设知，.当时，.-7-..以上个式子的两端分别相乘，得到,又∵∴.3.（2012·重庆高考理科·Ｔ21）设数列的前项和
3、满足其中.(1)求证:是首项为1的等比数列;(2)若,求证:,并给出等号成立的充要条件.【解题指南】利用已知条件及数列前n项和的性质可证明为等比数列.可利用数学归纳法证明第(2)问.【解析】(1)方法一:由,得,即,因为,故得.又由题设条件知,,两式相减得,即,由,知,因此.综上,对所有的成立,从而是首项为1,公比为的等比数列.方法二:用数学归纳法证明.当时,由,得,即,因为,故所以结论成立.假设当时,结论成立,即那么-7-这就是说,当时,结论也成立.综上可得,对任意的,因此是首项为1,公比为的等比数列.(2)方法一:当或时,显然成立.设且.由(1)知所以要证的不等式化为
4、,即证:.当时,上面不等式的等号成立.当时,与同为负;当时,与同为正.因此当且时,总有,即,上面不等式对从到求和得由此得综上,当时,有,当且仅当或时等号成立.方法二:当或时,显然成立.当时,也成立.当时,由(1)知.下证:当时,上面不等式化为,令当时,故-7-即所要证的不等式成立.当时,对求导得其中则即是上的减函数,故从而进而是上的增函数,因此所要证的不等式成立.当时,令则,由已证的结论知两边同乘以得所要证的不等式.综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立.4.（2012·四川高考理科·Ｔ20）已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）设，数列的前项和
5、为，当为何值时，最大？并求出的最大值.【解题指南】（Ⅰ）直接把代入，构造关于，的方程组求解；（Ⅱ）先求出数列的通项公式，再求数列的通项公式，由对数的运算性质，可知数列为单调递减的等差数列，把所有正项求和即可.【解析】（Ⅰ）取n=1,得①-7-取n=2,得②又②-①，得③若a2=0,由①知a1=0,若a2,④由①④解得，综上可得，a1=0，a2=0或.（Ⅱ）当a1>0时,由（I）知当,(2+)an-1=S2+Sn-1，所以an=,所以.令.所以数列{bn}是单调递减的等差数列（公差为），从而b1>b2>…>b7=，当n≥8时，bn≤b8=，故n=7时，Tn取得最大值，且Tn
6、的最大值为T7=.5、（2012·四川高考文科·Ｔ20）已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，当为何值时，数列的前项和最大？【解析】（Ⅰ）取n=1,得-7-若a1=0,则s1=0,当n.若a1.当n两式相减得2an-2an-1=an，所以an=2an-1（n≥2）,从而数列{an}是等比数列.所以an=a1·2n-1=综上，当a1=0时,当a1.（Ⅱ）当a1>0且.所以数列{bn}是单调递减的等差数列（公差为-lg2）.b1>b2>…>b6=，当n≥7时，bn≤b7=，故数列{lg}的前6项的和最大.关闭Word文档返回原板块
7、。-7-
