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《2012年人教大纲版高考题库考点11 数列的综合应用》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、温馨提示:此题库为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,关闭Word文档返回原板块。考点11数列的综合应用一、解答题1.(2012·大纲版全国卷高考理科·T22)(12分)函数f,定义数列如下:,是过两点,的直线与轴交点的横坐标.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求数列的通项公式.【解题指南】本题(Ⅰ)先求出直线的方程,然后利用数学归纳法进行证明,(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的相关结论写出数列的递推公式,根据递推公式的结构特征,构造新数列,求数列的通项公式.【解析】(Ⅰ)用数学归纳法证明2xn<xn+1<3.(ⅰ)当时,,直线的方程为,令,解得,所以.(ⅱ)假设时,结论成
2、立,即,直线的方程为,令,解得.由归纳假设知,,,-7-即.所以,即当时,结论成立.由(ⅰ)(ⅱ)知,对于任意的正整数,成立.(Ⅱ)由(Ⅰ)及.设,则,,数列是首项为,公比为的等比数列.所以,即数列的通项公式为.2.(2012·大纲版全国卷高考文科·T18)(12分)已知数列中,,前n项和.(Ⅰ)求,.(Ⅱ)求的通项公式.【解题指南】由,求;由,求出;求的通项公式时利用,导出与之间的关系,根据递推公式的特点,求通项公式.【解析】(Ⅰ),,.又,.(Ⅱ)由题设知,.当时,.-7-..以上个式子的两端分别相乘,得到,又∵∴.3.(2012·重庆高考理科·T21)设数列的前项和
3、满足其中.(1)求证:是首项为1的等比数列;(2)若,求证:,并给出等号成立的充要条件.【解题指南】利用已知条件及数列前n项和的性质可证明为等比数列.可利用数学归纳法证明第(2)问.【解析】(1)方法一:由,得,即,因为,故得.又由题设条件知,,两式相减得,即,由,知,因此.综上,对所有的成立,从而是首项为1,公比为的等比数列.方法二:用数学归纳法证明.当时,由,得,即,因为,故所以结论成立.假设当时,结论成立,即那么-7-这就是说,当时,结论也成立.综上可得,对任意的,因此是首项为1,公比为的等比数列.(2)方法一:当或时,显然成立.设且.由(1)知所以要证的不等式化为
4、,即证:.当时,上面不等式的等号成立.当时,与同为负;当时,与同为正.因此当且时,总有,即,上面不等式对从到求和得由此得综上,当时,有,当且仅当或时等号成立.方法二:当或时,显然成立.当时,也成立.当时,由(1)知.下证:当时,上面不等式化为,令当时,故-7-即所要证的不等式成立.当时,对求导得其中则即是上的减函数,故从而进而是上的增函数,因此所要证的不等式成立.当时,令则,由已证的结论知两边同乘以得所要证的不等式.综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立.4.(2012·四川高考理科·T20)已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)设,数列的前项和
5、为,当为何值时,最大?并求出的最大值.【解题指南】(Ⅰ)直接把代入,构造关于,的方程组求解;(Ⅱ)先求出数列的通项公式,再求数列的通项公式,由对数的运算性质,可知数列为单调递减的等差数列,把所有正项求和即可.【解析】(Ⅰ)取n=1,得①-7-取n=2,得②又②-①,得③若a2=0,由①知a1=0,若a2,④由①④解得,综上可得,a1=0,a2=0或.(Ⅱ)当a1>0时,由(I)知当,(2+)an-1=S2+Sn-1,所以an=,所以.令.所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为),从而b1>b2>…>b7=,当n≥8时,bn≤b8=,故n=7时,Tn取得最大值,且Tn
6、的最大值为T7=.5、(2012·四川高考文科·T20)已知数列的前项和为,常数,且对一切正整数都成立.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,,当为何值时,数列的前项和最大?【解析】(Ⅰ)取n=1,得-7-若a1=0,则s1=0,当n.若a1.当n两式相减得2an-2an-1=an,所以an=2an-1(n≥2),从而数列{an}是等比数列.所以an=a1·2n-1=综上,当a1=0时,当a1.(Ⅱ)当a1>0且.所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为-lg2).b1>b2>…>b6=,当n≥7时,bn≤b7=,故数列{lg}的前6项的和最大.关闭Word文档返回原板块
7、。-7-