课堂新坐标2016_2017学年高中数学第三章推理与证明3.4反证法学案北师大版选修1

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1、§4反证法｛学习目标导航｝阶段1,认知预习质疑（知识梳理要点初探）11.了解间接证明的一种基本方法一一反证法.2.理解反证法的概念及思考过程和特点.（难点）3.掌握反证法证题的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题.（重点、难点）k）［基础・初探］教材整理反证法阅读教材％〜％“练习”以上内容，完成下列问题.1.反证法的定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立,在这个前提下，若推岀的结果与泄义、公理、定理相矛盾,或与命题中的匕知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反血不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.2.反证法证明的思维过程

2、反证法的证明过程可以概括为“否定一一推理一一否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程.用反证法证明命题“若p则q"的过程可以用框图3・4・1表示：“若顾h”为真肯定条件Q，

3、

4、导致逻

5、

6、且否定结论g辑矛盾为假o微体验o判断（正确的打“J”，错误的打“X”）（1）反证法属于间接证明问题的方法.（）（2）反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一•种演绎推理.（）（3）反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾.（）【解析】（1）正确.反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接问题的方法.（2）错误.反证法从证明过程看

7、是一种严谨的演绎推理.（3）错误.反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾.【答案】⑴丿（2）X（3）X［质疑・手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1:解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑:阶段■屬爾3分组讨论疑难细究)[小组合作型]类型1【导学号：67720020]等差数列&｝的前/?项和为S”曰1=1+寸$=9+3p^・(1)求数列&｝的通项/与前〃项和$；(2)设g号(刀WN十)，求证：数列｛加中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【精彩点拨】第⑴问应用/=/+(/?—l)d和$=/?/+*/?(/?—1)R两式求解.第⑵问先假设存在三项弘

8、，爲，❻成等比数列，再用反证法证明.【自主解答】(1)设等差数列｛孙｝的公差为d,由已知得J3=^2~1-1,【3创+3d=9+3花，:、d=2,故禹=2门一1+£,S“=n(门+£).(2)证明：由⑴得人=号=刀+返假设数列仏•‘｝中存在三项弘b“bgq,r互不相等)成等比数列，则如陥,即(q+y[^)2=(p+y^)(r+^2),16—pb+(2g—p—r)£=0.jV—门厂=0,•:p,q,r^N+,2q—p—r=0,=pr,(p—D2=0,:、p=r,这与p^r矛盾.所以数列｛加屮任意不同的三项都不可能成为等比数列.1.当结论中含有“不”“不是”“不可能

9、”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.2.反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.3.常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在X-2Th［再练一题］【证明】x一9假设强方程心)-0的负数根，则賦0,山1且如宀-0,所以1.己知方程/U)+(Q1),证明：方程/(%)=o没有负数根.xo—2^o=_Ab+r又当Ao

10、时，O

11、反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确.需弄清楚结论的否圧是什么，避免出现错误.2.用反证法证明“至多”“至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下:结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有X成立存在某个y不成立至多有一个至少有两个对任意/不成立存在某个心成立至少有刀个至多有77-1个P或q且r至多有刀个至少有刀+1个PJ=LqR或r［再练一题］2.若x>0,y>0,且x+y>2,求证:字与宇至少有-个小于2.1y1-I—V【证明】假设一-*5——都不小于2,xy即—&2,—^2.xy"O,y>0,・・・1+.&2/1+心2y,两式

12、相加得2+