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1、矩阵典型例题与模拟题>典型题解析题型1矩阵的运算问题<100例2-1(1999(3,4))设人=020，而n>2为正整数，则<10b屮一2占二..答：应填050P01、解析：由A(A-2E)=02000010110-L77000、—000000,于是An-2An-[=An-A-2E)=0.例2-2(1994(1,2))I已知a=(1,2,3),0=1,—,补设5,其中丄2132]_3231/是Q的转置屮=1答：应填23解析：因为=(刃0)“=&卩&卩…&卩=(0刃)(0刃)…0=刃(0刃)心0=(06f)f0=(0刃)5⑴(]、又卩&-1,―,
2、―,2=3,23丿rA=a'卩=1)z21,11I2亍亍丿一23£2132V3231所以1_2132例2-3(2000(4))设a=(l,0,-l)T,矩阵4=为正整数，则aE-An=答：aa-T).所以<10-1、A"=2"_000■<-101丿a-2"-102”-1aE-A=0a0=aa-2n).2〃-10a解析：由题设A=aaT,WA?,=(aaT)(aaT)(aaT)=a(aTa)…(aTa)aT=a{aTa)n}aT=(aTay~]A.<1、'10-1、又a9z=(l,0,-l)0=2,4=0(1,0,1)=000厂101丿0、0,
3、矩阵B满足7‘21例2-4(2004(1))设矩阵A=12<0°ABA：=2BA+E,其中A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则答:解析：将原式化为(A-2E)BAf=£,求行列式得由于同=3,W卜岡=9,01A-2E=100000=^B=-19-1例2-5(2005(4))设A.B.C均为粒阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=AB+E.C=A^CA,则B—C为[](A)E(B)-E(C)A(D)-A答：(A)‘100、‘100、例2-7己知AP=PB,其中B=001,p=2-10,<010,<211；求A及其小刃是正整数.解析：因为
4、p
5、=-l,所以P
6、是可逆矩阵山于AP=PB,0此A=PBP-].用初等变换法求得‘100、P'1=2-10・-411,00、‘100、(100、于是2-100012-10211010?-411///00、—6-1-1■00因为A=所以A”=(PBP-')(PBP-')・・・(PBP-)=PB”P>又B2=E9故[e,当比为偶数时.A=v'A,当料为奇数时.例2-8(1996(1,2))设A=E-aa其中E是/?阶单位矩阵,Q是酬隹非零列向量，刃是©的转置，证明(1)A2=A的充要条件是刃a=1;⑵当刃。二咐A是不可逆矩阵证：(1)因为A=E-aaT,所以A2=
7、(E-aaTXE-aaT)=E-aa1-aaT+aaraar=E-laoT+(ara)aaT=E-(2—aTa)aaT如果A2=A,B卩E-(2-aTa)aaT=E-aaT于是(-aTa)aaT=0由于qhO,所以h阶矩阵a/hO,因此1-刃q=0,也就是aTa=.如果aTa=.由A?=E-(2-aTa)aaT,所以A2=E-aaT=A.(1)当ara=时，由⑴可知A2=A.假如A是可逆矩阵，则有屮心"，即E=A=E-aaT.于是a1a=0,与a工0矛盾，故当a1a=1时,A是不可逆矩阵.例2-9(2001(1))已知3阶矩阵A与3维向量兀，使
8、得向量组线性无关,且满足A3x=3Ax-2A2x.(1)iSP=(x,Ar,A2x),求3阶矩阵B,使A=PBP".(2)计算行列式
9、A+E
10、.又所以证：(1)因为AP二A(兀,Ar,兀)=(Ar,A’x,Ah),A3x=3Ax-2A2x,AP=(Ax,A2x^Ax-2A2x)‘000、=(x,Ax,A2%)103,01-2丿‘000、二P103,01一2丿于是(00P-1AP=1000rooB=10、01(2)由(1)知A与B相似，所以A+E与B+E相似，所以100A+£
11、=
12、B+E
13、=113=-4.01-1题型2与伴随矩阵相关的问题例2-10(19
14、98(4))设A是任一n{n>3)阶方阵，/T是其伴随矩阵，又k为常数，且£工0,±1,贝弭肋)*=[](A)(B)kn'x^・(C)TAl(D)答:应选(B).解析：根据代数余子式的定义，若舛是
15、A
16、屮元6Z-.的代数余子式，则
17、删中元第布第/列元岡的代数余子式为疋-'每，所以(也)十=严久・例2-11(1996(3,4))设邢介矩阵4非奇异(心2)彳是矩阵A的伴随矩阵，则[](A)(A丁=
18、A厂A.(B)(A丁=»「*・(C)(A)=AJ~2A.(D)(A)=
19、A
20、/，+2A.答：应选(C).解析:由解题方法屮所列结果知(A*/=
21、町s尸=
22、A
23、r1^-A=Ar2A.IAl注：如果
24、A
25、=O,7t>2,那么结论(C)也成立.因为
26、A
27、=
