2矩阵典型习题解析

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1、2矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!2.1知识要点解析2.1.1矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n个数组成的m行n列的矩形数表称为m×n矩阵，记为2．特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三

2、角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。3．矩阵的相等设若，则称A与B相等，记为A=B。2.1.2矩阵的运算1．加法（1）定义：设，则（2）运算规律① A+B=B+A；②（A+B）+C=A+（B+C）③ A+O=A④ A+（-A）=0，–A是A的负矩阵2．数与矩阵的乘法（1）定义：设k为常数，则（2）运算规律① K (A+B) =KA+KB,② (K+L)A=KA+LA,③ (KL) A= K (LA)3．矩阵的乘法（1）定义：设

3、则其中（2）运算规律①；②③（3）方阵的幂①定义：A，则②运算规律：；（4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。①②③4．矩阵的转置（1）定义：设矩阵A=，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵A的转置，记为，（2）运算规律①②；③④。（3）对称矩阵与反对称矩阵若则称A为对称阵；，则称A为反对称阵。5．逆矩阵（1）定义：设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作。（2）A可逆的元素条件：A可逆（3）可逆阵的性质①若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1 =A；②若A可逆，k≠0，则kA可逆，且；③若A可逆，则AT也可逆

4、，且；④若A，B均可逆，则AB也可逆，且。（4）伴随矩阵①定义：，其中为的代数余子式，②性质：i）；ii）；iii）；iv）若A可逆，则也可逆，且③用伴随矩阵求逆矩阵公式：2.1.3方阵的行列式1．定义：由n阶方阵A的元素构成的n阶行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A的行列式，记为或detA。2．性质：（1），（2），（3），（4）3．特殊矩阵的行列式及逆矩阵(1)单位阵E：；(2)数量矩阵kE：当(3)对角阵：若，则4．上（下）三角阵设若，则仍为上（下）三角阵2.1.4矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换（1）定义：以下三种变换①交换两行（列）；②某行（列）乘一

5、个不为零的常数k；③某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。2．初等矩阵（1）定义：将n阶单位阵E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵；交换i,j两行（列），记为E(i,j)；第i行（列）乘以不为零的常数k记为E(i(k))；第j行的k倍加到第i行上去，记为E(j(k)i；（2）初等矩阵的性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；而（3）方阵A可逆与初等阵的关系若方阵A可逆，则存在有限个初等阵，使，（4）初等阵的行列式（5）初等阵的作用：对矩阵A进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A，且3．矩阵的等价（1）定义：若矩阵A经过

6、有限次初等变换变到矩阵B，则称A与B等价，（2）A与B等价的三种等价说法，①A经过一系列初等变换变到B；②存在一些初等阵，使得③存在可逆阵P，Q，使得PAQ=B2.1.5分块矩阵1．分块矩阵的定义以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。2．分块矩阵的运算（1）设A，B为同型矩阵，采用相同的分法有则（2）（3）设分块成其中的列数分别等于的行数，则，其中3．准对角阵（1）定义：形如Ai为ni阶方阵的矩阵称为准对角阵。（2）准对角阵的行列式及逆矩阵设，则；若每个Ai可逆，则A可逆，且（3）特殊的准对角阵（i），若A1,A2可逆，则（ii），若A1,A2可逆，则（iii）是且（

7、iv），则2.2经典题型解析2.2.1矩阵的运算1、若则c=解：由得=0,=4而-1+2b+6=-1得b=-3,=-7从而c提示：对于最基本的矩阵的四则运算我们一定要烂熟于心。2、设A为三阶矩阵，且则解：易错提示：本题是道特别基本的有关矩阵基本性质的类型题，考生易犯的错误就是对矩阵进行行列式计算时，把的阶数给忘记计算。3、设A为33矩阵，B为44，且则解：易错题示：本题同上，但还应值得我们注意的是，在计算时是我们常犯的错误。4、设则解：易错提示：本题关键是要求我们注意到是矩阵，但却是数，倘若先计算然后再求，则计算式相当繁琐的。5、设，求.