2矩阵基础习题答案

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1、练习2.21・设人=~23~,B=3012-22求A+2B,AB-BA,解:(AB)2._064,BA=_69_-2-2_-1,所以由于AB二-6,⑷)2_5-21~_-320_2.设A=34-1,B—-201,AB-BA=A+2B=1368-3-36求abt,atb.解:■-19-9'FT*abt=,atb=-1-7_-21-2-1%10-43.设A=a2计算AB及BA.解:AB=4.计算[西解:-1,B—[/?!b2叭…呐a2b2…a2bn-624-410BA={a]b]+a2b2+--allbll)「41an。131a21^22a23x2_a3

2、a32a33_x3(a}}a2、%3範、)«21。22a23兀2宀1。32。33丿(西X2x3=(X]d[]+X2a2l+X3a2l兀禺12+兀2。22+兀3°32Xa3+兀2°23+兀3°33x2=(兀]d]]+X2a2l+兀3^21)兀1+(州。12+兀2。22+X3a32)X2+(兀“13+兀2°23+X3^33)X3222二绚丿]+022*2+。33兀3+(d]2+。21)尤1兀2+(°13+。31)兀1兀3+(。32+。23)兀2兀35.设A=3^=1问:(1)AB=BA吗?(2)(A+B)2=A2+2AB+BM?(3)(A+B)(A-

3、B)=A2-B2吗?解:(1)由于3AB=4(2)ill于(A+B)2=A?+AB+BA+b2且ABBA,所以(A+B)2A2+2AB+B2o(3)由于(A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2且ABHBA,所以(A+B)(A-B)A2-B2□练习2.31.利用矩阵的初等行变换,将下列矩阵化为行阶梯型矩阵。-20145-30387(1)-1221112104-1(2)114565_2-15-6解:(1)_7-201_■-145-3_"1-4-53_145-3(1)<->(2)、7-201-1(1)、7-20112038_20382038_-7⑴+(2

4、)-2⑴+⑶_21112~"104-2(1)+(2)_104104-1⑴<->(2)、21112一11⑴+⑶-2(1)+(4)、0134114565114565041216_2-15-6_2-15-6_0-1_3-4_(2)104_1-4-53_二(2)+(3)1-4-5302635-2026y02635-200813200291310613-4(2)+(3)1⑵+(4)-14001.利用矩阵的初等变换,求下列矩阵的秩。3-12011-420-2312-1-1111-214-62-236-97203143-542715204(2)(3)_3-120_j

5、1-411-42⑴<->(2)〉3-120-2310-23解:(1)把原矩阵转化为行阶梯形矩阵2_11-42_0-3⑴+(2)>0-414-610-231"11-421(2心(3)、0-231一2(2)+(3)、10-414-611-420-231008-8~2-1-11_j1-21_一2(1)+(2)j1-21_11-21(1)12)、2-1-11一4(1)+(3)一3(1)+(4)、0-33-14-62-24-62-20-1010-6_36-97__36-97_03-34_把原矩阵转化为行阶梯形炉阵-y(2)4-⑶(2)+(4)此行阶梯形矩阵冇三个

6、非零行,所以,原矩阵的秩为3。⑵_11-21_11-21_0-33-19活(2)+(4)0-33-18>8000000330003_0000此行阶梯形矩阵有三个非零行,所以,原矩阵的秩为3。⑶_20314_15204_-3⑴+(2)_15204_3-5427(12(3)、3-5427一2(1)+(3)v0-20-22-51520420314_0-10-11-4把原矩阵转化为行阶梯形矩阵15204-扣)+⑶-200-20-52此行阶梯形矩阵有三个非零行,所以,原矩阵的秩为3。练习2.41.下列炬阵是否可逆?若可逆,求其逆炬阵。(1)(2)(3)-1解:(

7、1)-2不可逆。-4显然此炬阵的秩为1,是非满秩矩阵,所以不可逆。不可逆。山于此矩阵的阶梯形炬阵(3)可逆,由于1-1的秩为L是非满秩矩阵,所以不可逆。12-1100"-3(1)+(2)1342010-5(1)+(3)、0T5-410010_12-1100_-7(2)+(3)0-21-31000-116-71⑵_100-210010-13/23-1/2001-167-12-1100_-21-310-146-501_ri00-21011(2)+(2)1(3)+(2)>0--2013-61_00-116-710-1/2-1-21所以逆矩阵为-13/23-1

8、672.试利用矩阵的初等行变换求下列矩阵的逆矩阵。321(1)3153233-20-10221

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