信息工程数学基础矩阵论典型试题解析

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1、习题11•计算下列方阵的幕解:⑴由cosn0sinnO-sincosnOcosB-sinQsin0cosBcos(〃+l)&sin(/2+l)&一sin(〃+l)&cos(n+l)&cosQsin0n■9(2)■1r一sin0COS0-ii⑴法知cosnOsinn0-sin77^cosn0法2：由矩阵:舄为正交矩阵，且二维平面中任一向量/、Xa=3丿•则向量州a二cosB-sinQsinQcosB相当于将向量a二3丿顺时针针旋转e3丿角度，故由此几何意义，有:cosnOsinn0-sincosnO(2)出A=71cos—4•兀sin—4•兀

2、-sin—4兀cos—4=(y/2)nmicos—4.mt-sin——4•/?Ksin——cos"0101(3)记J=.••・10贝IJ由于B・J=J=J・E,_01■「001■0100101,J2=00101000_0ClnJK=0其中K>5ChChcy-4ci4A"二(处+J)"=工珊严=k=0…ch••.:(规定：C占(n

3、E(2)当&=_〃时,b,c任意但要求bc=-a2.B

4、JA="",其中a,b,c为满c-a_足a?+be=1的任意值・3.证明：与任意n阶方阵可交换的矩阵必是数量矩阵九/・证明：因为n阶基本矩阵£/7(1

5、AB)口J逆时或矩阵A,3皆口J逆时•则曲伴随矩阵的性质(AB)=(ABy[AB=(沪犷丿同.圖二(肘网丿(A-1

6、A

7、)=B当r(A)

8、「、rB_00_丿Bnn方法2:1.当

9、43卜0,即(A3)口J逆时或矩阵皆可逆吋.则由伴随矩阵的性质(AB)=(ABylAB=(丿同•圖二(肘

10、即(A-1

11、A

12、丿=B2.当

13、=0,即A或B不可逆吋•(摄动法)令A(x)=xE+A,B(x)=xE+B^当卜

14、>>1时，A(x)fB(x)皆可逆.由(1)已证，故[A(x)B(x)]=B(xfA(x)由矩阵相等的定义，式中的元素均对应相等•又由对应元素为关于变量兀的多项式，对足够多的兀相等，故A(x)B(x)=B(xfA(xf为恒等式，故令兀=0,得证。6.证明:对任意矩阵A,有r(

15、AHA)=r(AAH)=r(A)9其中¥表示矩阵A的共饥转置•即A仁护证明：根据齐次线性方程组的性质：齐次线性方程组4X二0的解空间，也即系数矩阵A的零化空间的维数dim(N(A))=n-r(A)・故欲证明：r(AHA)=r(A),只须证明AX=0^=>AHAX=0或N(A)=N(AHA)若AX=0=>A〃AX=0,显然成立；反之，假设AnAX=0,则XnAHAX=0,UP(AX)nAX=0^AXf=0.因此AX=0・故综上所证，齐次线性方程组AX=0与A〃AX=0同解•同理r(AAH)=r(AH)但r(A)=r(Ah).所以命题得证.补

16、充题：1.设apa2,a3均为3维列向量，记矩阵A=(apa2,a3h^阵B=+幺2+為，8+2為+4%,(X

17、+30(2+9®丿如呆

18、內=1,求矩阵B的行列式.解：(方法1)曲行列式的(行)列变换性质：行列式的某一列的倍数加到另一列，行列式的值不变•故

19、b

20、=

21、(X]+幺2++2a2+4a3,a)+3a2+9a31=

22、a(+a2+a3,a2+3a3,2a2+8a3

23、=2

24、a(+a2+a3,a2+3a3,a2+4a3

25、=2

26、ot]+a2+a3,a2+3a3,a3

27、—2otj,a°,0^3=2(方法2):由矩阵的乘法，及AfBeMn(F)9则

28、AB=A[B

29、B

30、=

31、ot]+a?+闪,a〕+2a2+4a3,+3a2+9a3H11)1(偽。2。3丿123=apa2,a3

32、-1<149丿11123(Vondermo