概率典型题及解析

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时间:2018-07-15

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1、概率典型题及解析一、选择题1.将[0,1]内的均匀随机数a1转化为[-2,6]内的均匀随机数a,需实施的变换为(  )[答案] C[解析] ∵0≤a1≤1,∴0≤8a1≤8,∴-2≤8a1-2≤6.2.小红随意地从她的钱包中取出两枚硬币,已知她的钱包中有1分、2分币各两枚,5分币3枚,则她取出的币值正好是7分的概率是(  )A.B.C.D.[答案] B[解析] 共有取法6+5+4+3+2+1=21种,其中币值正好为7分的必有一枚5分币,故有3×2=6种,∴概率P==.3.从正六棱锥P-ABCD的侧棱和底边共12

2、条棱中任取两条,能构成异面直线的概率为(  )A.B.C.D.[答案] C[解析] 共能组成11+10+9+…+1=66对,其中为异面直线的有6×4=24对(∵侧棱都共面,底面多边形的边当然共面,∴异面的只有一条侧棱和底面的一条边的情形,一侧棱可与底面多边形的4条边构成异面直线),∴P==.4.在棱长为3的正方体内任取一个点,则这个点到各面的距离都大于1的概率为(  )A.   B.   C.  D.[答案] C[解析] 在正方体内到各面的距离都大于1的点的集合是以正方体的中心为中心、棱长为1的正方体,所以所求

3、概率P===.5.某人利用随机模拟方法估计π的近似值,设计了下面的程序框图,运行时,从键盘输入1000,输出值为788,由此可估计π的近似值约为(  )A.0.788B.3.142C.3.152D.3.14[答案] C[解析] 由条件知,投入1000个点(a,b),-1≤a≤1,-1≤b≤1,其中落入x2+y2≤1内的有788个.∵=,∴≈,∴π≈3.152.6.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率为(  )A.B.C.D.[答案] B[解析] 如图所示,作AD⊥BC于D,PE⊥

4、BC于E,对于事件W=“△PBC的面积大于”,有·BC·PE>··BC·AD,即PE>AD,∴BP>AB,∴由几何概型的概率计算公式得P(W)==.7.利用随机模拟法近似计算下图中阴影部分曲线y=2x与x=±1及x轴围成的图形的面积时,设计了如下算法:设事件A为“随机向正方形内投点,所投的点落在阴影部分”.S表示阴影部分的面积.S1:用计数器n记录做了多少次投点试验,用计数器m记录其中有多少次(x,y)满足-1

5、-1~1之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标;用变换rand()*2产生0~2之间的均匀随机数y表示所投的点的纵坐标;S3:判断点是否落在阴影部分,即是否满足y<2x,如果是,则计数器m的值加1,即m=m+1,如果不是,m的值保持不变;S4:表示随机试验次数的计数器n的值加1,即n=n+1,如果还要继续试验,则返回步骤S2继续执行;S5:S=____①____;S6:输出S,结束.则①处应为(  )A.mB.C.4mD.[答案] D[解析] ∵阴影部分的面积为S,正方形的面积为4,由几何概型计算公式得P(A)

6、=.所以=.所以S=即为阴影部分面积的近似值.8.下面是随机模拟掷硬币试验的程序框图.其中a=0表示正面向上,a=1表示反面向上,则运行后输出的是(  )A.正面向上的频数B.正面向上的频率C.反面向上的频数D.反面向上的频率[答案] D二、填空题9.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标,则点P在圆x2+y2=25外的概率为______.[答案] [解析] 基本事件的总数为6×6=36(个),记事件A=“点P(m,n)落在圆x2+y2=25外”,即m2+n2>25,当m取1、2、3时,n只能取5

7、或6,有2×3=6种;当m取4时,n只能取4、5、6有3种;当m取5或6时,n可取1至6的任何值,有2×6=12种.∴事件A包含的基本事件数共有6+3+12=21个,∴P(A)==.10.任意一个三角形ABC的面积为S,D为△ABC内任取的一个点,则△DBC的面积和△ADC的面积都大于的概率为________.[答案] [解析] 在AB上取三等分点E、F,过点E作EM∥BC交AC于M,过点F作FN∥AC交BC于N,则当点D在△AEM内时,满足S△DBC>,在△BFN内时,满足S△DAC>,设EM与FN的交点为G

8、,则当点D在△EFG内时,同时满足S△DBC>,S△DAC>,∴所求概率P==.11.已知函数f(x)=-x2+ax-b.若a、b都是区间[0,4]内的数,则f(1)>0成立的概率是________.[答案] [解析] ∵0≤a≤4,0≤b≤4,∴点(a,b)构成区域为正方形OBDE及其内部,∵f(1)=-1+a-b>0,∴a-b>1,满足条件的点构成区域为△ABC及其内部,其中A(1

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