概率典型题及解析

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1、概率典型题及解析一、选择题1．将[0,1]内的均匀随机数a1转化为[－2,6]内的均匀随机数a，需实施的变换为(　　)[答案]　C[解析]　∵0≤a1≤1，∴0≤8a1≤8，∴－2≤8a1－2≤6.2．小红随意地从她的钱包中取出两枚硬币，已知她的钱包中有1分、2分币各两枚，5分币3枚，则她取出的币值正好是7分的概率是(　　)A.B.C.D.[答案]　B[解析]　共有取法6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，其中币值正好为7分的必有一枚5分币，故有3×2＝6种，∴概率P＝＝.3．从正六棱锥P－ABCD的侧棱和底边共12

2、条棱中任取两条，能构成异面直线的概率为(　　)A.B.C.D.[答案]　C[解析]　共能组成11＋10＋9＋…＋1＝66对，其中为异面直线的有6×4＝24对(∵侧棱都共面，底面多边形的边当然共面，∴异面的只有一条侧棱和底面的一条边的情形，一侧棱可与底面多边形的4条边构成异面直线)，∴P＝＝.4．在棱长为3的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离都大于1的概率为(　　)A.　　　B.　　　C.　　D.[答案]　C[解析]　在正方体内到各面的距离都大于1的点的集合是以正方体的中心为中心、棱长为1的正方体，所以所求

3、概率P＝＝＝.5．某人利用随机模拟方法估计π的近似值，设计了下面的程序框图，运行时，从键盘输入1000，输出值为788，由此可估计π的近似值约为(　　)A．0.788B．3.142C．3.152D．3.14[答案]　C[解析]　由条件知，投入1000个点(a，b)，－1≤a≤1，－1≤b≤1，其中落入x2＋y2≤1内的有788个．∵＝，∴≈，∴π≈3.152.6．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率为(　　)A.B.C.D.[答案]　B[解析]　如图所示，作AD⊥BC于D，PE⊥

4、BC于E，对于事件W＝“△PBC的面积大于”，有·BC·PE>··BC·AD，即PE>AD，∴BP>AB，∴由几何概型的概率计算公式得P(W)＝＝.7．利用随机模拟法近似计算下图中阴影部分曲线y＝2x与x＝±1及x轴围成的图形的面积时，设计了如下算法：设事件A为“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．S表示阴影部分的面积．S1：用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足－1

5、－1～1之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生0～2之间的均匀随机数y表示所投的点的纵坐标；S3：判断点是否落在阴影部分，即是否满足y<2x，如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1，如果不是，m的值保持不变；S4：表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1，如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行；S5：S＝____①____；S6：输出S，结束．则①处应为(　　)A．mB.C．4mD.[答案]　D[解析]　∵阴影部分的面积为S，正方形的面积为4，由几何概型计算公式得P(A)

6、＝.所以＝.所以S＝即为阴影部分面积的近似值．8．下面是随机模拟掷硬币试验的程序框图．其中a＝0表示正面向上，a＝1表示反面向上，则运行后输出的是(　　)A．正面向上的频数B．正面向上的频率C．反面向上的频数D．反面向上的频率[答案]　D二、填空题9．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P在圆x2＋y2＝25外的概率为______．[答案]　[解析]　基本事件的总数为6×6＝36(个)，记事件A＝“点P(m，n)落在圆x2＋y2＝25外”，即m2＋n2>25，当m取1、2、3时，n只能取5

7、或6，有2×3＝6种；当m取4时，n只能取4、5、6有3种；当m取5或6时，n可取1至6的任何值，有2×6＝12种．∴事件A包含的基本事件数共有6＋3＋12＝21个，∴P(A)＝＝.10．任意一个三角形ABC的面积为S，D为△ABC内任取的一个点，则△DBC的面积和△ADC的面积都大于的概率为________．[答案]　[解析]　在AB上取三等分点E、F，过点E作EM∥BC交AC于M，过点F作FN∥AC交BC于N，则当点D在△AEM内时，满足S△DBC>，在△BFN内时，满足S△DAC>，设EM与FN的交点为G

8、，则当点D在△EFG内时，同时满足S△DBC>，S△DAC>，∴所求概率P＝＝.11．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.若a、b都是区间[0,4]内的数，则f(1)>0成立的概率是________．[答案]　[解析]　∵0≤a≤4,0≤b≤4，∴点(a，b)构成区域为正方形OBDE及其内部，∵f(1)＝－1＋a－b>0，∴a－b>1，满足条件的点构成区域为△ABC及其内部，其中A(1