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《可逆矩阵判定典型例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、典型例题（二）方阵可逆的判定例1设A是n阶方阵,试证下列各式：（1）若,则；（2）若A、B都是n阶可逆矩阵,则；（3）；（4）若,则；（5）；（6）若,则（l为自然数）；（7）.证（1）因为,故A是可逆矩阵,且两边同时取转置可得故由可逆矩阵的定义可知是AT的逆矩阵.即（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有（2-7）另一方面（2-8）比较式（2-7）、（2-8）可知又因为A、B均可逆,所以(AB)也可逆,对上式两端右乘可得（3）设n阶方阵A为于是可得A的伴随矩阵为注意到A的转置矩阵为可推出的伴随矩阵为比较与可知（4）因为,故A可逆,A的
2、逆矩阵为,并且由可知由于,可逆且可得另一方面,由由矩阵可逆的定义知,可逆,并且（5）对于（3）给出的矩阵A,有即的代数余子式为故（6）因为,故A可逆,并且l个l个 （7）对于（3）给出的矩阵A,有类似于（5）可知的代数余子式为,故例2设A是n阶非零矩阵,并且A的伴随矩阵满足,证明A是可逆矩阵.证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式,有反证,假设A不可逆,故有,由上式及条件,有（2-6）设矩阵A为由式（2-6）可知比较上式两边矩阵对角线上的元素有故因此有A=O,与A是n阶非零矩阵矛盾,故A是可逆矩阵.例3设A、B都是n阶可逆矩阵,证明：的
3、充要条件是证必要性：因为因此即充分性：因为,故.例4设A是一个n阶方阵,n为奇数,且,证明不可逆.证因为,故 因此有所以故是不可逆矩阵.例5设A是n阶方阵且对某个正整数k满足,证明是可逆矩阵,并求.证由于故对于方阵A的多项式,仍有注意到,故有因此可逆,并且例6设A是阶方阵,是A的伴随矩阵的伴随矩阵,证明：（1）；（2）.证（1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系,有即从而有对两边取行列式,有若A可逆,,故,于是有若A不可逆,则,的秩小于或等于1,故,仍有（2）对两边取行列式,有若A可逆,所以,从而有,于是可知若A不可逆,则例7设A、B是
4、同阶方阵,已知B是可逆矩阵,且满足,证明A和都是可逆矩阵,并求它们的逆矩阵.证因为,由于所以,因而有可逆.由可知由可知.例8设A、B均是n阶方阵,且可逆,则也可逆,并且证考察两个矩阵的乘积因此可逆,并且例9设n阶矩阵A、B和均可逆,证明：（1）也可逆,且（2）证（1）因为两边取行列式有因为A、B、可逆,故所以有故是可逆矩阵.故同理可证.（2）因为故同理可证.
