解三角形中的各类问题

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1、解三角形中的各类问题不同考点不同设计更高效考点一利用正弦、余弦定理解三角形（重点保分型考点——师生共研）［必备知识］1.正弦定理：命=冷=聶=2R，其中人是三角形外接鬪的半径•由正弦定理可以变形:⑴a：b：c=sinA:sinB：sinC；(2)(7=27?sinAfb=2/?sinB,c=27?sinC.2.余弦定理a2=b2-~c2—2bccosA,b2=a1+c1—2accosB,c2=<72+Z)2—2abcosC./)2+c2_a2+c2—b2a'+b1—c1变形：cosA=2hc,cos吐2〃，

2、cos2ah-［典题例析］（201牛辽宁高考）在△M?C屮，内角力，B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知BA•BC=2,cosB亍，b=3,求:(1)g和c的值；(2)cos(B—C)的值.解：⑴由BA-BC=2#c-6rcosB=2,又cosB=*,所以ac=6.由余弦定理，得a2+c2=+2accosB.sinB=1-cos’B=又b=3,所以/+(?=9+2><2=13.ac=6,a=2,a=3,解＜2，得/+=13,c=3或*c=2.因为q>c,所以a=3,c=2.（2）在厶ABC中,由正弦定理

3、，得sinC=^sin5=因a=Qc,所以C是锐角,因此cosC=yj1-sin2C=于是cos(B-Q=cosBcosC+sinBsinC=yX^+^^X^^=

4、

5、.［类题通法］正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.(2)运川余弦定理时，耍注意整休思想的运川.［演练冲关］在锐角三角形MC屮，a,b,c分别为内角B,C所对的边，且满足也a—2bsinA=0.(1)求角B的大小；(2)若o+c=5,且q

6、>c,b=y［7f求乔•走的值.解：(1)因为y/3a-2AsinA=0,所以羽sin力一2sinBsin/=0.因为sin昇工0，所以sin3=*・71又b为锐角，贝u3=亍(2)由⑴知B=扌，因为b=护、根据余弦定理得7=a2+c2-2accos扌,整理，得（a+cF-3ac=7.由已矢1a+c=5,贝']ac=6.又a>c,可得a=3,c=2.〒材h1+c2-a27+4-9y/1于疋C0M=2bc=^/7_=14^所以AB•AC=

7、AB

8、-

9、AC

10、cos^[=cbcosA=2X羽x£=1.考点二利用正弦、

11、余弦定理判定三角形的形状(题点多变型考点——全面发掘)［必备知识］三角形中常见的结论()A+B+C=ti.(2)在三角形中大边对大角，反Z亦然.(3)任意两边Z和大于第三边，任意两边Z差小于第三边.(4)三角形内的诱导公式：sin(/+B)=sinC；cos(/+B)=—cosC；/’、.A+BCA+B.Ctan(^+5)=—tanC；sin~_=co迈；cos~~=siny.(5)在△/BC中，tanA+tan3+tanC=tanAtanBtanC.(6)在厶ABC^,A,B,C成等差数列的充要条件是B=6

12、0。.⑺1BC为正三角形的充要条件是力，B,C成等差数列且°,b,c成等比数列.［一题多变］［典型母题］（2013-陕西髙考）设厶ABC的内角力，B,C所对的边分别为a,b,c,若AcosC+ccosB=asin力，则ZXMC的形状为（）A.锐角三角形C.锐角三角形B.直角三角形D.不确定［解析］依据题设条件的特点，由正弦定理，得sinBcosC+cosBsinC=sin'/,有sin(B+C)=sin2z4,从而sin(B+C)=sin/=sin'/,解得sin/=1,:.A=y故选B.［答案］B［题点发散1

13、］本例的条件变为：若2sin/fcosB=sinC,那么△ABC-定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解：选B法一:由已知得2sinAcosB=sinC=sin（/+B）=sinAcosB+cossinB>即sin（/-B）=0,因为-n

14、角形D.等腰或直角三角形解析：选D由正弦定理，得sin/cos/=sinBcosBnsin2/=sin2B,jr因为242B€（0,兀），所以2A=2B或2A=ti-2B,即A=B或4+Bp.选D.［题点发散3］木例的条件变为：若2asin力=（2〃+c）sin3+（2c+b）sinC.且sin5+sinC=1,试判断△ABC的形状.解：由已知，根据正弦定理得2/=（2b+c）b+（2