解三角形中地各类问题

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1、实用标准课题解三角形中的各类问题(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．变形：cosA＝，cosB＝，cosC＝.[典题例析](2014·辽宁高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cosB＝，b＝

2、3，求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．解：(1)由·＝2得c·acosB＝2，又cosB＝，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解得或因为a>c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝＝＝，由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.因a＝b>c，所以C是锐角，因此cosC＝＝＝.文档实用标准于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.[类题通法]正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，

3、只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．[演练冲关]在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a－2bsinA＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝5，且a>c，b＝，求·的值．解：(1)因为a－2bsinA＝0，所以sinA－2sinBsinA＝0.因为sinA≠0，所以sinB＝.又B为锐角，则B＝.(2)由(1)知B＝，因为b＝，根据余弦定理得7＝a2＋c2－2accos，整理，得(a＋c)2－3ac＝7.由已

4、知a＋c＝5，则ac＝6.又a>c，可得a＝3，c＝2.于是cosA＝＝＝，所以·＝

5、

6、·

7、

8、cosA＝cbcosA＝2××＝1.(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]三角形中常见的结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)三角形内的诱导公式：sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；cos＝sin.(5)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.文档实

9、用标准(6)在△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.(7)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．[一题多变][典型母题](2013·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)A.锐角三角形　　　　　B．直角三角形C.锐角三角形D．不确定[解析]　依据题设条件的特点，由正弦定理，得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sinA＝sin

10、2A，解得sinA＝1，∴A＝，故选B.[答案]　B[题点发散1]　本例的条件变为：若2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是(　　)A．直角三角形　　　　　　　B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解：选B　法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－π

11、C一定是(　　)A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析：选D　由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB⇒sin2A＝sin2B，因为2A,2B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.选D.[题点发散3]　本例的条件变为：若2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC．且sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．解：由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，cosA＝－，sinA＝，则sin2A＝sin2B

12、＋sin2C＋sinBsinC.文档实用标准又sinB＋sinC＝1，所以sinBsinC＝，所以sinB＝sinC＝.因为0