解三角形中相关的取值范围问题

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1、解决与三角形相关的取值范围问题例1：在锐角中，，则的取值范围是例2：若的三边成等比数列，所对的角依次为，则的取值范围是例3：在中，角的对边分别为，且成等差数列。（1）求的大小。（2）若，求周长的取值范围。例4：在中，，若的外接圆半径为，则的面积的最大值为例5：（2008，江苏）满足的的面积的最大值是例6：已知角是三个内角，是各角的对边，向量，，且（1）求的值。（2）求的最大值。通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，

2、是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。巩固练习1．在中，，则的取值范围为2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是3．在中，，且所对的边满足，则实数的取值范围为4．在锐角中，，，则的取值范围是5．在锐角中，三个内角成等差数列，记，则的取值范围是6．已知锐角三角形的边长分别为，则的取值范围是7．已知外接圆的半径为，若面积且，则，的最大值为8．在中，，且（1）求证：为直角三角形（2）若外接圆的半径为，求的周长的取值范围9．在中所对的边分别为，已知（1）若，

3、求实数的值（2）若，求面积的最大值。解决与三角形相关的取值范围问题例1：在锐角中，，则的取值范围是解析：由得，所以，又所以点评：①本题易错在求的范围上，容易忽视“是锐角三角形”这个条件。②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法。例2：若的三边成等比数列，所对的角依次为，则的取值范围是解析：由题设知，又余弦定理知所以，又所以即的取值范围是。点评：本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力。例3：在中，角的对边分别为，且成等差数列。（1）求的大小。（2）若，求周长的取值范围。解析：（1

4、）由题意知，由正弦定理得所以，于是（2）由正弦定理，所以又由得，所以。点评：对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。例4：在中，，若的外接圆半径为，则的面积的最大值为解析：又及余弦定理得，所以，又由于，所以即所以，又由于，故当且仅当时，的面积取最大值点评：先利用余弦定理求的大小，再利用面积公式结合基本不等式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。例5：（2008，江苏）满足的的面积的最大值是解析：设，则，根据面积公式得①由余弦定理得代入①式得由三角形三边关系有，所以，故当时，取得最大值

5、。点评：本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题。例6：已知角是三个内角，是各角的对边，向量，，且（1）求的值。（2）求的最大值。解析：由，，且得，所以，即，所以（2）由余弦定理得，而即有最小值，又，所以有最大值（当且仅当时取等号）所以的最大值为通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。

6、希望本文能对同学们复习备考有所帮助。巩固练习1．在中，，则的取值范围为2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是3．在中，，且所对的边满足，则实数的取值范围为4．在锐角中，，，则的取值范围是5．在锐角中，三个内角成等差数列，记，则的取值范围是6．已知锐角三角形的边长分别为，则的取值范围是7．已知外接圆的半径为，若面积且，则，的最大值为8．在中，，且（1）求证：为直角三角形（2）若外接圆的半径为，求的周长的取值范围9．在中所对的边分别为，已知（1）若，求实数的值（2）若，求面积的最大值。参考答案1．2．3．4．同例1知，由

7、正弦定理5．易知，则由于，所以，故6.设所对的角分别为，由三角形三边关系有，故，易知，要保证为锐角三角形，只需，即，解得7．由，得由余弦定理得，故有，易得为锐角，且，即，故有，则（当且仅当时取等号）即的最大值为8．（1）由，且得，由正弦定理得，由余弦定理得整理得又由于，故，即是直角三角形（或者：由得，化简得，由于，故，即是直角三角形）（2）设内角所对的边分别为由于外接圆的半径为，，所以，所以又，故，因而故即的周长的取值范围为9．（1）由两边平方得即，解得由得即，所以（2）由（1）知，则，又，所以，即，故