解三角形中的范围问题.pdf

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1、中国科技经济新闻数据库教育解三角形中的范围问题佘文君新疆乌鲁木齐市兵团第十二师高级中学，新疆乌鲁木齐830013摘要：解三角形问题，是历年高考中的必考点也是常考点，这是由于其具有的数与形双结合的特征所决定的，这样的特征使得对其考察的过程中既可以对三角函数知识中的诱导公式，恒等变换，进行一定的检测，也可以在边角转化，正弦余弦定理等知识点上查漏补缺，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题。关键词：解三角形；三角函数；重要不等式；范围中图分类号：G634.6文献标识码：A文章编号：16

2、71-5861(2016)4-1091-02a+c1三角函数中的范围问题，最值问题是一个重点。比较常2因为a+c=1,a>0,c>0，可得a+c≥2ac,()≥ac,≥ac，见的是利用三角函数的有界性解决三角函数范围的求解方241法，但近几年的高考题中越来越倾向于建立关于边长与三角且cosB，2函数值的函数关系后，利用常见的几类重要不等式解决其对1112所以b≥2××(1-),b≥，又因为b

3、.2222abc2bccosA，2对“单角”的约束222bac2accosB，2由a2bc(1cosA)，当单边a以及边长乘积bc222cab2abcosC2a同时，在基本不等式中我们总有这样一组公式：确定时，不等式可变型为cosA≥1-，不等式的右侧为定2bc22bc2bc，值，则cosA此时有最小值可以确定，即可以确定角A的对22应范围。ac2ac，例题：22ba2ab，若ABC的三边a,b,c成等比数列，a,b,c所对的角依次在三角形中由于各边都是正数，所以上

4、面三个式子在为A,B,C，则sinBcosB的取值范围是a.b.c是三角形的三边时总是成立的，如果我们将两组公式[解析]综合后会发现这样的一组公式，即：22由题设三边a,b,c成等比数列，可知bac，由余弦a2bc(1cosA)，2定理及重要不等式知道b≥2ac(1-coBs)，2b≥2ac(1-cosB)12ac≥2ac(1-cosB),cosB≥，所以0B，又c≥2ab(1-cosC)23两组公式的综合之后我们发现，该式中涵盖了单独边长，7siBncBosB2且sin(B

5、)边长乘积，角度余弦值这三个方面，这三个要素在无形之中44412是相互关联相互制约的，下面我们来看几道典型例题，来体所以2sin(B)(1,2即]sinBcosB的取值会其中变化的奇妙之处。41对“单边”的约束范围是(1,2]。2由a2bc(1cosA)，不难看出，当边长乘积bc，3对“边长乘积”的约束2及其夹角A确定时，不等式的右侧为定值，则a边此时有最由a2bc(1cosA)，若是当单边a以及角A确小值可以确定。a2定时，不等式可变型为≥bc，不等式的右侧为定值，例题：2(1-c

6、osA)（2013·江西）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为则边长乘积bc此时有最大值可以确定，即可以确定bc，的a，b，c，已知cosC(cosA3sinA)cosB0.范围，也就很好的解决了ΔABC面积的对应范围。（1）求角B的大小；例题：[2014全国1理]已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C（2）若ac1，求b的取值范围.的对边，a2，且2bnis(AnisB)(cb)nisC，[解析]则ABC面积的最大值为____________．（1）由已知得[解析]

7、cos(AB)cosAcosB3sinAcosB0，由a=2,(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC可知即sinAsinB3sinAcosB0.因为sinA0，(a+b)(As-siinB)n=(c-b)siCn，又根据正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c所以sinB3cosB，又0cosB0，所以化简得222b+ca1π222tanB，3又0B，所以B.b+c-a=bc,cosA==,A=，2bc2332222a113（2）由余弦定理bac2a

8、ccosB及重要不等式a2≥2bc(1-cosA),bc,4bc,S=bcsinA×4×,S3≥≥≤≤ΔABCΔABC2222(1-cosA)222ac2ac，可得b2ac(1cosC)例题：2016年7月1091教育前沿在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且22221又abcab及余弦定理得cosA=.33222BCabc12222cosC，所以sinC，（1）求si