线性方程组的解习题课

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1、一、线性方程组有解的判定条件问题：证必要性.(),,nDnAnAR阶非零子式中应有一个则在设=(),根据克拉默定理个方程只有零解所对应的nDn从而这与原方程组有非零解相矛盾，().nAR<即充分性.(),nrAR<=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，即可得方程组的一个非零解.证必要性．,有解设方程组bAx=()(),BRAR<设则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程０＝１，这与方程组有解相矛盾.()().BRAR=因此并令个自由未知量全取0，rn-即可得方程组的一个解．充分性.()(),BRAR=设()()(),nrrBRAR

2、£==设证毕其余个作为自由未知量,把这行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,小结有唯一解bAx=()()nBRAR==Û()()nBRAR<=Û有无穷多解.bAx=齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；例1求解齐次线性方程组解二、线性方程组的解法即得与原方程组同解的方程组由此即得例２求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解．例３求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换故方程组有解，且有所以方程组的通解为例４解证对增

3、广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为由于原方程组等价于方程组由此得通解：例５设有线性方程组解其通解为这时又分两种情形：第2章习题课例１求下列矩阵的秩解对施行初等行变换化为阶梯形矩阵注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形．当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解．当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则．二、求解线性方程组例２求非齐次线性方程组的通解．解对方程组的增广矩阵　进行初等行变换，使其成为行最简单形．由此可知　　　　　　　，而方程组(1)中未知量

4、的个数是　　，故有一个自由未知量.例３当　取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解．解法一系数矩阵　的行列式为从而得到方程组的通解解法二用初等行变换把系数矩阵　化为阶梯形三、求逆矩阵的初等变换法例４求下述矩阵的逆矩阵．解注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．四、解矩阵方程的初等变换法或者例５解第2章　　测试题一、填空题(每小题4分，共24分)．1．若　元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为，则当　　时，方程组有唯一解；当　　时，方程组有无穷多解．2．齐次线性方程组

5、只有零解，则　应满足的条件是　　　　．4．线性方程组有解的充要条件是二、计算题(第1题每小题8分，共16分；第2题每小题9分，共18分；第3题12分)．2．求解下列线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解．三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵四、证明题(每小题8分，共16分)(每小题7分，共14分)．测试题答案()()nBRAR==Û()()nBRAR<=Û有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结思考题思考题解答解故原方程组的通解为