线性方程组的矩阵解

《线性方程组的矩阵解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§3.1线性方程组的矩阵解§3.1线性方程组的矩阵解研究问题：一、用消元法解线性方程组二、矩阵和矩阵的初等变换三、矩阵的规范形与线性方程组的解第三章线性方程组一、消元法与矩阵的初等变换⎧axax++?+=axb1111221nn1⎪⎪axax++?+=axb2112222nn2对一般线性方程⎨—（1）?????⎪⎪axax++?+=axb⎩mm1122mnnm当mn=,且系数行列式D≠0时，方程组（1）有唯一解，其解由Cramer法则给出。但若系数行列式D=0,我们无法知道此时方程组是有解，还是无解。当mn≠时，Crame

2、r法则失效，我们也不知方程组有没是解，更没有解此方程组（1）的有效方因此有必要研究一般线性方程组（1）的下面用加减消元法解三元一次线性方程第三章线性方程组把未知量系数和常例3.1.1解方程组：按原顺序写成下⎧23xxx−+=1⎛⎞2131−123⎪⎜⎟⎨4254xxx++=4254123⎜⎟⎪⎩22xx+=6⎜⎟⎝⎠202613把第1个方程分别乘以−2、把第1行分别乘以−2、−1加到第2个、3个方程得：−1加到第2、3行得：⎧23xxx−+=1⎛⎞2131−123⎪⎜⎟⎨42xx−=0412−23⎜⎟⎪⎩xx−=5⎜⎟⎝⎠

3、0115−23把第3个方程分别乘以−4、把第3行分别乘以−4、1加到第2个、1个方程得：1加到第2、1行得：⎧22xx+=6⎛⎞202613⎪⎜⎟⎨31x=−800318−3⎜⎟⎩⎪xx−=5⎜⎟⎝⎠0115−23第三章线性方程组把第2个方程与第3把第2行与第3行互换位置方程互换位置得：⎧22xx+=6⎛⎞202613⎪⎜⎟⎨xx23−=5⎜⎟0115−⎪⎩31x=−8⎜⎟⎝⎠00318−3分别把第1个方程和第3个分别用1/2和1/3方程乘以1/2和1/3得：乘第1行和第3行得：⎧xx+=3⎛⎞101313⎪⎜⎟⎨xx−=

4、50115−23⎜⎟⎪⎜⎟⎩x=−6⎝⎠0016−3把第3个方程分别乘以−1,分别把把第3行乘以−1,1加到第1、2个方程得：1加到第1、2行得：⎧x=9⎛⎞10091⎪⎜⎟⎨x=−10101−2⎜⎟⎪⎜⎟⎩x=−6⎝⎠0016−3第三章线性方程组在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三种变1、用一个数乘某个方程的两边加到另一方程2、用一个非零数乘一个方程的两3、互换两个方程的位置。这三种变换总称为线性方程组的初等变如果把方程组写成“数表”（矩阵）的形式,则解方程组就相当于对“数表”（矩阵）进行以下三种变1、

5、用一个数乘矩阵的某一行加到另一行2、用一个非零数乘矩阵的某一3、互换两行的位由此引进两个新概念：矩阵和矩阵的初等变第三章线性方程组二、矩阵和矩阵的初等变换定义3.1.1数域F上mn×个元素排成如下形式的表：⎛⎞aa?a11121n⎜⎟aa?a⎜⎟21222n⎜⎟????⎜⎟aa?a⎝⎠mm12mn称为数域F上m行n列矩阵，简称mn×阶矩阵，记为Amn×,或(aij)mn×。其中aij称为矩阵的元素，i称为元素aij所在行的行下标，j称为元素a所在列的列下标。ij当m=n时，nn×矩阵亦称为方阵。第三章线性方程组定义3.1.

6、2以下三种变换称为矩阵的初等变1、用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）称为矩阵的消法变2、用一个非零数乘矩阵的某一行（列），称为倍法变3、交换矩阵中某两行（列）的位置，称为换法变从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对由程组未知量系数和常数项所排成的矩阵进行初等变换的过为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否原方程组同解。我们定理3.1.1方程组的初等变换把线性方程组变为一个与它与它同解的线性方程第三章线性方程组把方程组(1)的未知量系数按原来的顺序

7、组成的矩阵，称方程组的系数矩阵，记为由方程组未知量系数和常数组成矩阵称为方程组的增广矩阵，记为A。对方程组⎛⎞aa?a⎛⎞aa?@ab11121n11121n1⎜⎟⎜⎟aa?aaa?@abA=⎜⎟21222n,A=⎜⎟21222n2⎜⎟????⎜⎟????@?⎜⎟⎜⎟aa?aaa?@ab⎝⎠mm12mn⎝⎠mm12mnm⎛⎞aa?aaa1112?a1n11121n⎜⎟aa?aaa?a21222n若A=⎜⎟21222n则称为矩阵A⎜⎟????????⎜⎟aa?aaann12?ann⎝⎠nn12nn的行列式，记为A。注意行列式

8、与矩阵在形式和本质的区别。第三章线性方程组三、矩阵的规范形与线性方程组的解对方程组进行初等变换其实质就是对方程组中未知量系和常数项组成的增广矩阵A进行相应的初等变换。由定理3.1.1知，对增广矩阵进行行初等变换所得矩阵，对应的方程组与原方程组同问题：一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形第三章线性方