线性方程组的解.ppt

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1、§3.4线性方程组的解我们知道n未知数m个方程的线性方程组可以写成Axb其中A(aij)x(x1x2xn)Tb(b1b2bm)T矩阵B(Ab)称为线性方程组的增广矩阵线性方程组如果有解就称它是相容的如果无解就称它不相容上页下页铃结束返回补充例题首页定理1n元线性方程组Axb(1)无解的充分必要条件是R(A)R(Ab)(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(Ab)n(3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(Ab)n说明Axb无解R(A)R(Ab)的等价叙述①A

2、xb无解R(A)R(Ab)R(A)R(Ab)Axb无解②R(A)R(Ab)Axb有解R(A)R(Ab)Axb无解要证明定理只需证明R(A)R(Ab)Axb无解R(A)R(Ab)nAxb有唯一解R(A)R(Ab)nAxb有无限多解>>>>>>>>>下页定理2线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(Ab)定理3n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是R(A)n定理1n元线性方程组Axb(1)无解的充分必要条件是R(A)R(Ab)(2)有唯

3、一解的充分必要条件是R(A)R(Ab)n(3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(Ab)n当方程组Axb有无限多个解时其解的形式为线性方程组的通解这是方程组的含有参数的解称为方程组的通解令xr1c1xncnr可得其中xr1xn是自由未知数下页>>>求解线性方程组Axb的步骤(1)对于非齐次线性方程组把它的增广矩阵B化成行阶梯形从B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B)若R(A)R(B)则方程组无解(2)若R(A)R(B)则进一步把B化成行最简形而对于齐次线性方程组则

4、把系数矩阵A化成行最简形(3)设R(A)R(B)r把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数其余nr个未知数取作自由未知数并令自由未知数分别等于c1c2cnr由B(或A)的行最简形即可写出含nr个参数的通解下页对系数矩阵A施行初等行变换得解由此得或其中c1c2为任意实数例1求解齐次线性方程组>>>下页c1c2例2求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B施行初等行变换得可见R(A)2R(B)3故方程组无解下页所以有例3求解非齐次线性方程组解因为即>>>下页(c1c2R)c1c

5、2解对增广矩阵B施行初等行变换得例4设有线性方程组此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解问取何值时(1)当0且3时R(A)R(B)3方程组有唯一解(2)当0时R(A)1R(B)2方程组有无解(3)当3时R(A)R(B)2方程组有无限多个解>>>下页解例4设有线性方程组此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解问取何值时(3)当3时R(A)R(B)2方程组有无限多个解这时由此得下页定理4矩

6、阵方程AXB有解的充分必要件是R(A)R(AB)定理5设ABC则R(C)min{R(A)R(B)}定理6矩阵方程AmnXnl0只有零解的充分必要条件是R(A)n>>>>>>结束其它结论