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时间:2020-03-14
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1、§3线性方程组的解1一、线性方程组的表达式一般形式向量方程的形式方程组可简化为AX=b.增广矩阵的形式向量组线性组合的形式2二、线性方程组的解的判定设有n个未知数m个方程的线性方程组定义:线性方程组如果有解,就称它是相容的;如果无解,就称它是不相容的.问题1:方程组是否有解?问题2:若方程组有解,则解是否唯一?问题3:若方程组有解且不唯一,则如何掌握解的全体?m、n不一定相等!3定理:n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)2、需证明条件的充分性,即R(A)3、解.若R(A)=R(A,b)=n,故原线性方程组有唯一解.后n-r列则dr+1=0且r=n,对应的线性方程组为从而bij都不出现.6前r列n列第二步:往证R(A)=R(A,b)=n唯一解.若R(A)=R(A,b)=n,故原线性方程组有唯一解.则dr+1=0且bij都不出现.即r=n,前r行后m-r行后n-r列n行对应的线性方程组为后m-n行7第三步:往证R(A)=R(A,b)4、-r,则线性方程组的通解9例:求解非齐次线性方程组解:R(A)=R(A,b)=3<4,故原线性方程组有无穷多解.10备注:有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=r5、Ax=0的常数项都等于零,于是必有R(A,0)=R(A),所以可从R(A)判断齐次线性方程组的解的情况.15例:设有线性方程组问l取何值时,此方程组有(1)唯一解;(2)无解;(3)有无限多个解?并在有无限多解时求其通解.定理:n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)6、换,则需对l+1=0(或l+3=0)的情况另作讨论.18分析:讨论方程组的解的情况,就是讨论参数l取何值时,r2、r3是非零行.在r2、r3中,有5处地方出现了l,要使这5个元素等于零,l=0,3,-3,1.实际上没有必要对这4个可能取值逐一进行讨论,先从方程组有唯一解入手.19于是当l≠0且l≠-3时,R(A)=R(B)=3,有唯一解.当l=0时,R(A)=1,R(B)=2,无解.当l=-3时,R(A)=R(B)=2,有无限多解.20解法2:因为系数矩阵A是方阵,所以方程组有唯一解的充分必要条件是7、A8、≠0.于是当l≠0且l≠-3时,方程组有唯一解.21当l=9、0时,R(A)=1,R(B)=2,方程组无解.当l=-3时,R(A)=R(B)=2,方程组有无限多个解,其通解为22定理:n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)10、是R(A)=R(A,B)
2、需证明条件的充分性,即R(A)3、解.若R(A)=R(A,b)=n,故原线性方程组有唯一解.后n-r列则dr+1=0且r=n,对应的线性方程组为从而bij都不出现.6前r列n列第二步:往证R(A)=R(A,b)=n唯一解.若R(A)=R(A,b)=n,故原线性方程组有唯一解.则dr+1=0且bij都不出现.即r=n,前r行后m-r行后n-r列n行对应的线性方程组为后m-n行7第三步:往证R(A)=R(A,b)4、-r,则线性方程组的通解9例:求解非齐次线性方程组解:R(A)=R(A,b)=3<4,故原线性方程组有无穷多解.10备注:有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=r5、Ax=0的常数项都等于零,于是必有R(A,0)=R(A),所以可从R(A)判断齐次线性方程组的解的情况.15例:设有线性方程组问l取何值时,此方程组有(1)唯一解;(2)无解;(3)有无限多个解?并在有无限多解时求其通解.定理:n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)6、换,则需对l+1=0(或l+3=0)的情况另作讨论.18分析:讨论方程组的解的情况,就是讨论参数l取何值时,r2、r3是非零行.在r2、r3中,有5处地方出现了l,要使这5个元素等于零,l=0,3,-3,1.实际上没有必要对这4个可能取值逐一进行讨论,先从方程组有唯一解入手.19于是当l≠0且l≠-3时,R(A)=R(B)=3,有唯一解.当l=0时,R(A)=1,R(B)=2,无解.当l=-3时,R(A)=R(B)=2,有无限多解.20解法2:因为系数矩阵A是方阵,所以方程组有唯一解的充分必要条件是7、A8、≠0.于是当l≠0且l≠-3时,方程组有唯一解.21当l=9、0时,R(A)=1,R(B)=2,方程组无解.当l=-3时,R(A)=R(B)=2,方程组有无限多个解,其通解为22定理:n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)10、是R(A)=R(A,B)
3、解.若R(A)=R(A,b)=n,故原线性方程组有唯一解.后n-r列则dr+1=0且r=n,对应的线性方程组为从而bij都不出现.6前r列n列第二步:往证R(A)=R(A,b)=n唯一解.若R(A)=R(A,b)=n,故原线性方程组有唯一解.则dr+1=0且bij都不出现.即r=n,前r行后m-r行后n-r列n行对应的线性方程组为后m-n行7第三步:往证R(A)=R(A,b)4、-r,则线性方程组的通解9例:求解非齐次线性方程组解:R(A)=R(A,b)=3<4,故原线性方程组有无穷多解.10备注:有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=r5、Ax=0的常数项都等于零,于是必有R(A,0)=R(A),所以可从R(A)判断齐次线性方程组的解的情况.15例:设有线性方程组问l取何值时,此方程组有(1)唯一解;(2)无解;(3)有无限多个解?并在有无限多解时求其通解.定理:n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)6、换,则需对l+1=0(或l+3=0)的情况另作讨论.18分析:讨论方程组的解的情况,就是讨论参数l取何值时,r2、r3是非零行.在r2、r3中,有5处地方出现了l,要使这5个元素等于零,l=0,3,-3,1.实际上没有必要对这4个可能取值逐一进行讨论,先从方程组有唯一解入手.19于是当l≠0且l≠-3时,R(A)=R(B)=3,有唯一解.当l=0时,R(A)=1,R(B)=2,无解.当l=-3时,R(A)=R(B)=2,有无限多解.20解法2:因为系数矩阵A是方阵,所以方程组有唯一解的充分必要条件是7、A8、≠0.于是当l≠0且l≠-3时,方程组有唯一解.21当l=9、0时,R(A)=1,R(B)=2,方程组无解.当l=-3时,R(A)=R(B)=2,方程组有无限多个解,其通解为22定理:n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)10、是R(A)=R(A,B)
4、-r,则线性方程组的通解9例:求解非齐次线性方程组解:R(A)=R(A,b)=3<4,故原线性方程组有无穷多解.10备注:有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=r5、Ax=0的常数项都等于零,于是必有R(A,0)=R(A),所以可从R(A)判断齐次线性方程组的解的情况.15例:设有线性方程组问l取何值时,此方程组有(1)唯一解;(2)无解;(3)有无限多个解?并在有无限多解时求其通解.定理:n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)6、换,则需对l+1=0(或l+3=0)的情况另作讨论.18分析:讨论方程组的解的情况,就是讨论参数l取何值时,r2、r3是非零行.在r2、r3中,有5处地方出现了l,要使这5个元素等于零,l=0,3,-3,1.实际上没有必要对这4个可能取值逐一进行讨论,先从方程组有唯一解入手.19于是当l≠0且l≠-3时,R(A)=R(B)=3,有唯一解.当l=0时,R(A)=1,R(B)=2,无解.当l=-3时,R(A)=R(B)=2,有无限多解.20解法2:因为系数矩阵A是方阵,所以方程组有唯一解的充分必要条件是7、A8、≠0.于是当l≠0且l≠-3时,方程组有唯一解.21当l=9、0时,R(A)=1,R(B)=2,方程组无解.当l=-3时,R(A)=R(B)=2,方程组有无限多个解,其通解为22定理:n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)10、是R(A)=R(A,B)
5、Ax=0的常数项都等于零,于是必有R(A,0)=R(A),所以可从R(A)判断齐次线性方程组的解的情况.15例:设有线性方程组问l取何值时,此方程组有(1)唯一解;(2)无解;(3)有无限多个解?并在有无限多解时求其通解.定理:n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)6、换,则需对l+1=0(或l+3=0)的情况另作讨论.18分析:讨论方程组的解的情况,就是讨论参数l取何值时,r2、r3是非零行.在r2、r3中,有5处地方出现了l,要使这5个元素等于零,l=0,3,-3,1.实际上没有必要对这4个可能取值逐一进行讨论,先从方程组有唯一解入手.19于是当l≠0且l≠-3时,R(A)=R(B)=3,有唯一解.当l=0时,R(A)=1,R(B)=2,无解.当l=-3时,R(A)=R(B)=2,有无限多解.20解法2:因为系数矩阵A是方阵,所以方程组有唯一解的充分必要条件是7、A8、≠0.于是当l≠0且l≠-3时,方程组有唯一解.21当l=9、0时,R(A)=1,R(B)=2,方程组无解.当l=-3时,R(A)=R(B)=2,方程组有无限多个解,其通解为22定理:n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)10、是R(A)=R(A,B)
6、换,则需对l+1=0(或l+3=0)的情况另作讨论.18分析:讨论方程组的解的情况,就是讨论参数l取何值时,r2、r3是非零行.在r2、r3中,有5处地方出现了l,要使这5个元素等于零,l=0,3,-3,1.实际上没有必要对这4个可能取值逐一进行讨论,先从方程组有唯一解入手.19于是当l≠0且l≠-3时,R(A)=R(B)=3,有唯一解.当l=0时,R(A)=1,R(B)=2,无解.当l=-3时,R(A)=R(B)=2,有无限多解.20解法2:因为系数矩阵A是方阵,所以方程组有唯一解的充分必要条件是
7、A
8、≠0.于是当l≠0且l≠-3时,方程组有唯一解.21当l=
9、0时,R(A)=1,R(B)=2,方程组无解.当l=-3时,R(A)=R(B)=2,方程组有无限多个解,其通解为22定理:n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)10、是R(A)=R(A,B)
10、是R(A)=R(A,B)
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