线性方程组的解ppt课件.ppt

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1、§3线性方程组的解1一、线性方程组的表达式一般形式向量方程的形式方程组可简化为AX=b．增广矩阵的形式向量组线性组合的形式2二、线性方程组的解的判定设有n个未知数m个方程的线性方程组定义：线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它是不相容的．问题1：方程组是否有解？问题2：若方程组有解，则解是否唯一？问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？m、n不一定相等！3定理：n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)

2、需证明条件的充分性，即R(A)

3、解．若R(A)=R(A,b)=n，故原线性方程组有唯一解．后n-r列则dr+1=0且r=n，对应的线性方程组为从而bij都不出现.6前r列n列第二步：往证R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原线性方程组有唯一解．则dr+1=0且bij都不出现.即r=n，前r行后m－r行后n-r列n行对应的线性方程组为后m－n行7第三步：往证R(A)=R(A,b)

4、-r，则线性方程组的通解9例：求解非齐次线性方程组解：R(A)=R(A,b)=3<4，故原线性方程组有无穷多解．10备注：有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=r

5、Ax=0的常数项都等于零，于是必有R(A,0)=R(A)，所以可从R(A)判断齐次线性方程组的解的情况．15例：设有线性方程组问l取何值时，此方程组有(1)唯一解；(2)无解；(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解．定理：n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)

6、换，则需对l+1=0（或l+3=0）的情况另作讨论．18分析：讨论方程组的解的情况，就是讨论参数l取何值时，r2、r3是非零行．在r2、r3中，有5处地方出现了l，要使这5个元素等于零，l=0，3，－3，1．实际上没有必要对这4个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手．19于是当l≠0且l≠－3时，R(A)=R(B)=3，有唯一解．当l=0时，R(A)=1，R(B)=2，无解．当l=－3时，R(A)=R(B)=2，有无限多解．20解法2：因为系数矩阵A是方阵，所以方程组有唯一解的充分必要条件是

7、A

8、≠0．于是当l≠0且l≠－3时，方程组有唯一解．21当l=

9、0时，R(A)=1，R(B)=2，方程组无解．当l=－3时，R(A)=R(B)=2，方程组有无限多个解，其通解为22定理：n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)

10、是R(A)=R(A,B)