解线性方程组的直接方法ppt课件.ppt

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1、引言快速、高效地求解线性方程组是数值线性代数研究中的核心问题，也是目前科学计算中的重大研究课题之一。各种各样的科学和工程问题，往往最终都要归结为求解一个线性方程组。线性方程组的数值解法有：直接法和迭代法。直接法：在假定没有舍入误差的情况下，经过有限次运算可以求得方程组的精确解；迭代法：从一个初始向量出发，按照一定的迭代格式，构造出一个趋向于真解的无穷序列。线性方程组直接解法举例（一）解：例：直接法解线性方程组我们知道，下面有3种方程的解我们可以直接求出：①n次运算②（n＋1）n/2次运算③（n＋1）n/2次运算对方程组，作如下的变换，解不变①交换两个方程的次序②一个方程的两边同时乘以

2、一个非0的数③一个方程的两边同时乘以一个非0数，加到另一个方程因此，对应的对增广矩阵(A，b)，作如下的变换，解不变①交换矩阵的两行②某一行乘以一个非0的数③某一个乘以一个非0数，加到另一行消元法就是对增广矩阵作上述行的变换，变为我们已知的3种类型之一，而后求根.§1解线性方程组的Gauss消去法§2直接三角分解法§3行列式和逆矩阵的计算§4向量和矩阵的范数§5Gauss消去法的浮点舍入误差分析§1解线性方程组的Gauss消去法1.1Gauss消去法1.2Gauss列主元消去法1.3Gauss按比例列主元消去法1.4Gauss-Jordan消去法1.5矩阵方程的解法1.6Gauss消

3、去法的矩阵表示形式§1解线性方程组的Gauss消去法在科技、工程、医学和经济等各个邻域中，经常遇到求解n阶线性方程组(1.1)的问题。方程组（1.1）的系数和右端项均为实数，且不全为零．方程组（1.1）可简记为（1.2）其中§11.1Gauss消去法我们知道，对线性方程组（1.1）作行运算（变换）:（1）交换方程组中任意两个方程的顺序；（2）方程组中任何一个方程乘上某一个非零数；（3）方程组中任何一个方程减去某倍数的另一个方程，得到新的方程组都是与原方程组(1.1)等价的。若方程组(1.1)或(1.2)的系数矩阵A是非奇异的，则得到的新方程组与原方程组是同解的。这一章若无特别申明，总

4、是假定方程组(1.1)的系数矩阵是非奇异，因此它有唯一解。解方程组(1.1)的基本Gauss消去法就是反复运用上述运算，按自然顺序(主对角元素的顺序)逐次消去未知量，将方程组(1.1)化为一个上三角形方程组，这个过程称为消元过程；然后逐一求解该上三角形方程组，这个过程称为回代过程。计算得该该上三角形方程组的解就是原方程组(1.1)的解.我们知道，线性方程组(1.1)与其增广矩阵本章主要介绍求解线性方程组(1.1)的直接法。所谓直接法，就是不考虑计算过程的舍入误差时，经有限次数的运算便可求得方程组准确解的方法.我们还将在§5中对计算过程中的舍入误差作一些初步分析．1.1Gauss消去法

5、（1.3）之间有一对应关系.不难看出:（1）交换矩阵(1.3)的第p,q两行(记作)相当于交换方程组(1.1)的第p,q两个方程；（2）用一个非零数λ乘矩阵(1.3)的第p行(记作)相当于用λ乘方程组(1.1)的第p个方程；（3）矩阵(1.3)的第q行减去第p行的λ倍(记作)相当于方程组(1.1)的第q个方程减去第p个方程的λ倍.因此，解线性方程组(1.1)的基本Gauss消去法的消元过程可以对它的增广矩阵进行上述行初等变换．(1.4)例1用基本Gauss消去法解线性方程组解Gauss消去法的消元过程可对方程组(1.4)的增广矩阵进行初等变换：由此得到与方程组(1.4)同解的上三角形

6、方程组(1.5)消去法的回代过程是解上三角形方程组(1.5).我们从方程组(1.5)的第三个方程解得然后将它代入第二个方程得到最后，将代第一个方程得到在回代过程中，我们反复运用了上述的行运算（2）．现在，我们将应用于上述例1的基本Gauss消去法推广到解一般的n×n阶线性方程组(1.1).Gauss消去法的消元过程由n—1步组成：第一步设把增广矩阵(1.3)的第一列中元素消为零．为此，令从的第i(i—2，…，n)行分别减去第一行的倍，得到其中第二步设把矩阵的第二列中元素消为零.仿此继续进行消元，假设进行了k—l步，得到第k步设把的第k列的元素消为零，得到其中规定(

7、1.9)式是消元过程的一般计算公式.式中作分母的元素称为(第k步的)主元素(简称主元).若则中至少有一个元素，比方说不为零(否则,方程组(1.1)的系数矩阵A奇异).这样,我们可取作为主元.然后,交换矩阵的第k行与第r行,把它交换到(k,k)的位置上.称为乘子.进行n—1步消元后，我们便得到一个上梯形矩阵这里,我们假设整个消元过程中没有进行过矩阵的行交换.是一个上三角矩阵.与上相应的上三角方程组(1.11)和方程组(1.1)同解.Gauss消去法的回代过程