解线性方程组的直接方法课件.ppt

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1、解线性方程组的直接方法/DirectMethodforSolvingLinearSystems/刘兴霞引言与预备知识线性方程组数值解法分类直接法迭代法向量与矩阵基本知识复习P162讨论线性方程组直接法—高斯消去法顺序高斯消去法/GaussianElimination/例:解下列线性方程组方程组等价于由最后一方程消元过程回代过程高斯消去法一般思路：思路首先将A化为上三角阵/upper-triangularmatrix/，再回代求解/backwardsubstitution/。=现考虑n阶线性方程组消元Ste

2、p1：设，计算因子将增广矩阵/augmentedmatrix/第i行mi1第1行，得到其中Stepk：设，计算因子且计算共进行？步n1回代Whatif?Nouniquesolutionexists.Whatif?Thenwemustfindthesmallestintegerkiwith,andinterchangethek-throwwiththei-throw.Whatifwecan’tfindsuchk?Nouniquesolutionexists.定理若A的所有顺序主子式/determina

3、ntofleadingprincipalsubmatrices/均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。注：事实上，只要A非奇异，即A1存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。主元对解的影响若主对角线上某元素为0则无法进行消元若主对角线上某元素绝对值接近0,则用其作除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，将严重影响计算结果的精度。例：单精度解方程组/*精确解为和*/8个8个用GaussianElimination计算：8个小主元/Smallpivo

4、telement/可能导致计算失败。全主元消去法/CompletePivoting/每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证。Stepk:①选取②Ifikkthen交换第k行与第ik行;Ifjkkthen交换第k列与第jk列;③消元注：列交换改变了xi的顺序，须记录交换次序，解完后再换回来。列主元消去法/PartialPivoting,ormaximalcolumnpivoting/省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。例：注：列主元法没有全主元法稳定。注意：这两个方程组在数学上严格等价。标度

5、化列主元消去法/ScaledPartialPivoting/对每一行计算　　　　　。为省时间，si只在初始时计算一次。以后每一步考虑子列中　最大的aik为主元。例：注：稳定性介于列主元法和全主元法之间。高斯-若当消去法/Gauss-JordanMethod/与GaussianElimination的主要区别：每步不计算mik，而是先将当前主元akk(k)变为1;把akk(k)所在列的上、下元素全消为0;Hey!Isn’titbetterthanGaussianElimination?Whatmakes

6、yousayso?Obviouslywenolongerneedthebackwardsubstitution!You’dbetterwaittillwegothroughthenextsectiontodrawyourconclusion…运算量/AmountofComputation/由于计算机中乘除/multiplications/divisions/运算的时间远远超过加减/additions/subtractions/运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通常以乘除次数的

7、最高次幂为运算量的数量级。GaussianElimination:Stepk：设，计算因子且计算共进行n1步(nk)次(nk)2次(nk)次(nk)(nk+2)次消元乘除次数：1次(ni+1)次回代乘除次数：GaussianElimination的总乘除次数为，运算量为级。CompletePivoting:比GaussianElimination多出　次比较，保证稳定，但费时。PartialPivoting:比GaussianElimination只多出　次比较，略省时，但不保证稳定。

8、ScaledPartialPivoting:比GaussianElimination多出　次除法和次比较，比列主元法稳定。但若逐次计算si(k)，则比全主元法还慢。Gauss-JordanMethod:运算量约为。故通常只用于求逆矩阵，而不用于解方程组。求逆矩阵即。例：用高斯-约当消去法求的逆矩阵解C=AI=