解线性方程组的直接方法

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1、第5章解线性方程组的直接方法15.1引言与预备知识5.1.1引言线性方程组的数值解法一般有两类：1.直接法经过有限步算术运算，可求得方程组精确解的方法(若计算过程中没有舍入误差).但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解.22.迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法.35.1.2向量和矩阵用表示全部实矩阵的向量空间，表示全部复矩阵的向量空间.这种实数排成的矩形表，称为行列矩阵.称为维列向量.4其中为的第列.其中为的第行.也可写成行向量的形式写成列向量的形式5(5)单位矩阵矩阵的基本运算：(1)矩阵加法(2)矩阵与

2、标量的乘法(3)矩阵与矩阵乘法(4)转置矩阵6(6)非奇异矩阵设则称是如果存在，则称为非奇异矩阵.如果均为非奇异矩阵，其中如果的逆矩阵，记为且则(7)矩阵的行列式设则的行列式可按任一行(或列)展开，7其中为的代数余子式，行列式性质：即的余子式.为元素85.1.3特殊矩阵设(1)对角矩阵(2)三对角矩阵(3)上三角矩阵(4)上海森伯格（Hessenberg）阵(5)对称矩阵9(6)埃尔米特矩阵(7)对称正定矩阵(8)正交矩阵(9)酉矩阵(10)初等置换阵由单位矩阵交换第行与第行(或交换第列与第列)，得到的矩阵记为,且10(11)置换阵定理1设，(1)对任何方程组有

3、唯一解.（为交换第行与第行得到的矩阵）；（为交换第列与第列得到的矩阵）；由初等置换阵的乘积得到的矩阵.则下述命题等价：(2)齐次方程组只有唯一解.(4)存在.(5)的秩(3)11定理2设为对称正定阵，则(1)为非奇异矩阵，且亦是对称正定阵.(2)记为的顺序主子阵，则亦是对称正定矩阵，其中(3)的特征值(4)的顺序主子式都大于零，即12定理3设为对称矩阵.或的特征值则为定理4(Jordan标准型)设为阶矩阵，则存在一个非奇异矩阵使得如果对称正定阵.13其中为若当（Jordan）块.(1)当的若当标准型中所有若当块均为一阶时，此标准型变成对角矩阵.14(2)如果的特

4、征值各不相同，则其若当标准型必为对角阵155.2高斯消去法165.2.1高斯消去法设有线性方程组（2.1）或写为矩阵形式17简记为例1解消去(2.4)中的未知数得到将方程(2.2)乘上加到方程(2.4)上去，第2步.用消去法解方程组第1步.将方程(2.3)加到方程(2.5)上去，消去方程18(2.5)中的未知数得到与原方程组等价的三角形方程组显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为上述过程相当于19其中用表示矩阵的第行.由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消去未知数的方法把原方程组化为与其等价的三角形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.上述过程就是

5、用行的初等变换将原方程组系数矩阵化为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的问题转化为求解简单方程组的问题.20或者说，对系数矩阵施行一些左变换(用一些简单矩阵)将其约化为上三角矩阵.下面讨论求解一般线性方程组的高斯消去法.将(2.1)记为其中(1)第1步设首先计算乘数用乘(2.1)的第一个方程，加到第个方程上，消去(2.1)的从第二个方程到第个方程中21的未知数得到与(2.1)等价的方程组（2.7）简记为其中的元素计算公式为22(2)第次消元设上述第1步，…，第步消元过程计算已经完成，（2.8）即已计算好与(2.1)等价的方程组简记为23设计算乘

6、数加到第个方程用乘(2.8)的第个方程，消去从第个方程到第个方程中的未知数得到与元素的计算公式为显然中从第1行到第行与相同.(2.1)等价的方程组24(3)继续上述过程，且设直到完成第步消元计算.最后得到与原方程组等价的简单方程组其中为上梯形.特别当时，与原方程组等价的方程组为即（2.10）25如果是非奇异矩阵，且由(2.1)约化为(2.10)的过程称为消元过程.求解三角形方程组(2.10)，得到求解公式（2.11）(2.10)的求解过程(2.11)称为回代.如果由于为非奇异矩阵，所以的第一列一定有元素不等于零.26例如于是交换两行元素(即），将调到(1,1)位

7、置，然后进行消元计算，这时右下角矩阵为阶非奇异矩阵.继续这过程，高斯消去法照样可进行计算.27定理5设其中(1)如果将约化为等价的三角形方程组(2.10)，且计算公式为：则可通过高斯消去法(a)消元计算28(b)回代计算(2)如果为非奇异矩阵，则可通过高斯消去法(及交换两行的初等变换)将方程组约化为(2.10).29算法1(高斯算法)本算法用高斯方法将约化为上梯形，且覆盖，乘数覆盖.对于(1)如果则计算停止(2)对于(a)(b)对于设如果30上三角阵，算法1第步需要作次除法，次乘法，因此，本算法(从第1步到第步消元计算总的计算量)当时，总共大约需要次乘法运算.数

8、称为约化的主元素.算法2