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1、第5章解线性方程组的直接方法5.1引言与预备知识5.2高斯消去法5.3高斯主元素消去法5.4矩阵三角分解法5.5向量和矩阵的范数5.6误差分析5.7矩阵的正交三角化及应用这一章讨论线性方程组5.1引言与预备知识的数值解法.在自然科学和工程技术中,很多问题归结为解线性方程组.例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限元方法解常微分方程、偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组，而这些方程组的系数矩阵大致分为两种，一种是低阶稠密矩阵(例如，阶数不
2、超过150).另一种是大型稀疏矩阵(即矩阵阶数高且零元素较多).5.1.1引言有的问题的数学模型中虽不直接表现为含线性方程组,但它的数值解法中将问题“离散化”或“线性化”为线性方程组.因此线性方程组的求解是数值分析课程中最基本的内容之一.关于线性方程组的解法一般有两大类：但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解.本章将阐述这类算法中最基本的和具有代表性的算法就是高斯消元法,以及它的某些变形和应用.这类方法是解低阶稠密矩阵方程组及某些大型稀疏矩阵方程组(例如，大型带状方程组)的有效方法.1.直接法经
3、过有限次的算术运算,可以求得方程组的精确解(假定计算过程没有舍入误差).如线性代数课程中提到的克莱姆算法就是一种直接法.但该法对高阶方程组计算量太大,不是一种实用的算法.就是用某种极限过程去逐步逼近方程组精确解的方法.迭代法具有计算机的存储单元较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点，但存在收敛条件和收敛速度问题.迭代法是解大型稀疏矩阵方程组(尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组)的重要方法(见第6章).为了讨论线性方程组数值解法，需复习一些基本的矩阵代数知识.2.迭代法5.1.2向量和矩阵基本概念：用Rm×n
4、表示全部m×n实矩阵的向量空间；用Cm×n表示全部m×n复矩阵的向量空间.(由数排成的矩阵表，称为m行n列矩阵).其中aj为A的第j列的m维列向量.同理(m维列向量).其中biT为A的第i行的n维行向量.矩阵的基本运算：(1)矩阵加法(2)矩阵与标量的乘法(3)矩阵与矩阵的乘法(4)转置矩阵(5)单位矩阵其中(6)非奇异矩阵则称B是A的逆矩阵，记为A-1，且(A-1)T=(AT)-1.如果A-1存在，则A称为非奇异矩阵.如果A、B均为非奇异矩阵，则有(AB)-1=B-1A-1.(7)矩阵的行列式设A∈Rn×n，则A的行列式可按任一
5、行(列)展开,其中Aij为aij的代数余子式，Aij=(-1)i+jMij，为Mij元素aij的余子式.行列式性质：5.1.3特殊矩阵设A=(aij)∈Rn×n.(1)对角矩阵如果当i≠j时，aij=0.(2)三对角矩阵如果当
6、i-j
7、>1时，aij=0.(3)上三角矩阵如果当i>j时，aij=0.(4)上海森伯格(Hessenberg)矩阵如果当i>j+1时，aij=0.(5)对称矩阵如果AT=A.(6)埃尔米特(Hermit)矩阵设A∈Cn×n，如果当AH=A(AH是A的共轭转置矩阵).(7)对称正定矩阵如果AT=A且对任意非
8、零向量，x∈Rn，(Ax,x)=xTAx>0.(8)正交矩阵如果A-1=AT.(9)酉矩阵设A∈Cn×n，如果A-1=AH.(10)初等置换阵由单位矩阵I交换第i行与第j行(或第i列与第j列)，得到的矩阵记为Iij，且.IijA=B(为交换A第i行与第j行得到的矩阵)；AIij=C(为交换A第i列与第j列得到的矩阵).(11)置换阵由初等置换阵的乘积得到的矩阵.定理1设A∈Rn×n，则下述命题等价：(1)对任何b∈Rn，方程组Ax=b有唯一解.(2)齐次方程组Ax=0只有唯一解零解x=0.(3)det(A)≠0.(4)A-1存在.
9、(5)A的秩rank(A)=n.定理2设A∈Rn×n为对称正定矩阵，则(1)A为非奇异矩阵，且A-1亦是对称正定矩阵.(2)设Ak为A的顺序主子阵，则Ak(k=1,2,,n)亦是对称正定矩阵，其中(3)A的特征值λi>0(i=1,2,,n).(4)A的顺序主子式都大于零，即Ak的行列式det(Ak)>0(k=1,2,,n).定理3设A∈Rn×n为对称矩阵，如果det(Ak)>0(k=1,2,,n)，或A的特征值λi>0(i=1,2,,n)，则A为对称正定矩阵.有重特征值的矩阵不一定相似于对角矩阵，那么一般n阶矩阵A在相似
10、变换下能简化到什么形状.定理4(Jordan标准型)设A为n阶矩阵，则存在一个非奇异n阶矩阵P使得为若当(Jordan)块.其中(1)当A的若当标准型中所有若当块Ji均为一阶时，此标准型变为对角矩阵.(2)如果A的特征值各不相同，则其若当标准型必为
