数值分析第五章 解线性方程组的直接方法ppt课件.ppt

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1、数值分析第五章解线性方程组的直接方法DirectMethodforSolvingLinearSystems其中简记作求解解线性方程组的两类方法：迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!)高斯消元法：思路首先将A化为上三角阵/*upper-triangularmatrix*/，再回代求解/*backwardsubstitution*/。=一、Gauss消去法计算过程相当于第i个方程-第一个方程×数→新的第i方程—同解！第一方程不动！其中上述消元过程除第一个方程不变以外,第

2、2—第n个方程全消去了变量1，而系数和常数项全得到新值：系数矩阵与常数项：消元记Step1：设，计算因子将增广矩阵/*augmentedmatrix*/第i行mi1第1行，得到其中Stepk：设，计算因子且计算共进行？步n1回代过程算法消去第一列的n-1个系数要计算n*(n-1）个乘法。Gauss消去法乘法计算量需要修改前述算法，研究原矩阵A在什么条件下才能保证高斯消去的进行。Whatif?Nouniquesolutionexists.Whatif?Thenwemustfindthesmallestintegerkiwith,andinterchangethek-throwwith

3、thei-throw.Whatifwecan’tfindsuchk?Nouniquesolutionexists.定理6若A的所有顺序主子式/*determinantofleadingprincipalsubmatrices*/均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。注：事实上，只要A非奇异，即A1存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。高斯主元素消去法例1.用Gauss消去法解线性方程组(用3位十进制浮点数计算）解:本方程组的精度较高的解为用Gauss消去法求解(用3位十进制浮点数计算)9999回代后得到与精确解相比,该结果相当糟糕究其原因,在求

4、行乘数时用了很小的数0.0001作除数主元如果在求解时将1,2行交换,即0.9999回代后得到这是一个相当不错的结果每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵LkGauss消去法的矩阵表示i+1行i+1行LU形式Heyhasn’tGEgivenmeenoughheadache?WhydoIhavetoknowitsmatrixform??!WhenyouhavetosolvethesystemfordifferentwithafixedA.Couldyoubemorespecific,please?FactorizeAfirst,thenforeveryyouonlyhavetosolvetwosi

5、mpletriangularsystemsand.定理若A的所有顺序主子式/*determinantofleadingprincipalsubmatrices*/均不为0，则A的LU分解唯一（其中L为单位下三角阵）。证明：由§1中定理可知，LU分解存在。下面证明唯一性。若不唯一，则可设A=L1U1=L2U2，推出Upper-triangularLower-triangularWithdiagonalentries1注：L为一般下三角阵而U为单位上三角阵的分解称为Crout分解。实际上只要考虑A*的LU分解，即，则即是A的Crout分解。直接计算A的LU分解(例)一般计算公式计算量与Gauss

6、消去法同.LU分解求解线性方程组平方根法/*Choleski’sMethod*/：——对称/*symmetric*/正定/*positivedefinite*/矩阵的分解法定义一个矩阵A=(aij)nn称为对称阵，如果aij=aji。定义一个矩阵A称为正定阵，如果对任意非零向量都成立。因此Diagonal:对角为非奇异下三角阵为非奇异上三角阵----------(2)--------(3)因此所以综合以上分析,则有-------------(4)-------------(5)定理11.(Cholesky分解)且该分解式唯一这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解--------

7、-----(6)-------------(7)-------------(8)对称正定线性方程组的解法线性方程组-------------(10)-------------(11)则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组-------------(12)-------------(13)------(14)------(15)对称正定方程组的平方根法例1.用平方根法解对称正定方程组解:即所以原