2013高一级数学竞赛试题

《2013高一级数学竞赛试题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、三水中学2012—2013学年度高一级数学竞赛（决赛）试题一、选择题（本大题共6题，每小题5分，共30分，符合条件的选项有且只有一个）yxO1.如图中，给出的函数y=x2+ax+a的图像与x轴只有一个公共点，则a为()（A）0．（B）1．（C）2．（D）4．2.下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递增的函数是（）ABCD3.已知集合，若，则实数的取值范围是（）ABCD4.在中，，若为锐角，则实数的取值范围是()A．B．C．D．5.函数的图象是（　　）6.已知函数满足，，则的值为()7A．3B．

2、2C．1D．一、填空题（本大题共6题，每小题8分，共48分）7.已知，则8.已知点,点为抛物线的顶点，点为抛物线上任意一点，则的最小值为9.若任意的，则，就称是“和谐”集合，则在集合的所有非空子集中，“和谐”集合的个数是_________个10.已知的三边长分别为3、4、5.则这个三角形内切圆的面积为11.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，且最大值是2，则的解析式是12.已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是三、解答题（本大题共6题，共72分）13.（本题满分

3、10分）已知函数，．（1）求函数在内的单调递减区间；（2）若函数在处取到最大值，求的值．14.（本题满分10分）如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边、于点、，设，，其中，．求表达式的值.715.（本题满分13分）已知函数．（1）求的最小正周期和的值域；（2）若为的一个零点，求的值．16.（本题满分13分）已知二次函数的图象过点（1，13），且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出

4、这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.17.（本题满分13分）已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：[1]对任意的，总有；[2]；[3]当，，且时，有成立，就称为“友谊函数”，请解答下列各题：(1)若为“友谊函数”，求的值；(2)函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.(3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得且，求证：.18.（本题满分13分）已知正实数满足，且7，求的最小值．三水中学2012—2013学年度高一级数学竞赛（决赛）试题答案一、(每题5分，共30分)DCBDAC二、填空题（本

5、大题共6题，每小题8分，共48分）7.4/5，8.7/4，9.7个10.11.12.三、解答题13.解：（1）函数在内的单调递减区间为：[]；……5分（注：开区间也给分）（2）由已知得：当时，函数取到最大值2；此时有，解得；……………6分故，……………………………………………..7分……….8分………………………9分故有=……………..10分14.解：如图延长AG交BC与F，G为△ABC的中心F为BC的中点，则有……..2分，，…………………………………..4分　即………………….6分D、G、E三

6、点共线　　故＝3……………………………….10分15.解：⑴7……..4分．…………………5分所以的最小正周期……………..6分由，得的值域为．…………...7分⑵，由题设知，由，结合知，…………………….8分可得．……………………….9分，…….12分…………13分（注:有其他解法只要运算正确也给分）16.解（1）因为函数是偶函数，所以二次函数的对称轴方程为，故.……………..2分7又因为二次函数的图象过点（1，13），所以，故………………………………4分因此，的解析式为.………………5分（2）

7、如果函数的图象上存在符合要求的点，设为P，其中为正整数，为自然数，则，………………7分从而，即……….10分注意到43是质数，且，，所以有解得…………………12分因此函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）…13分17.解：（1）取得，又由，得……………………………2分（2）显然在上满足[1]；[2]………3分若，，且，则有故满足条件[1]、[2]、[3]，所以为友谊函数……6分(3)由[3]知任给其中，且有，不妨设则必有：所以：……9分所以：.依题意必有,下面用反证法证明：假设，

8、则有或……10分7(1)若，则，这与矛盾；……11分(2)若，则，这与矛盾；…12分故由上述（1）、（2）证明知假设不成立，则必有，证毕.…13分18.已知正实数满足，且，求的最小值．解令，，则………………..1分．……3分令，…………………………..4分则，…………………5分且．………………………….6分于是…….10分因为函数在上单调递减，……………11分所以．………………………………………..12分因此，的最小值为．……………………….13分7