高中数学二轮专题辅导十转化与化归思想

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1、专题十转化与化归思想【考试要求】1•化归思想方法:就是在研究和解决有关数学问题吋，采用某种手段或方法将问题通过变换使Z转化,进而达到使问题解决的一种方法，在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难,需将原问题转化为一个新问题（相对來说，对白己较为熟悉）通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的.2.转化思想方法:是实现问题的规范化、模式化以便应用已知的理论、方法和技巧，达到问题的解决，其思维过程的形式如图.解题的过程就是“转化”的过程，“转化”是解数学题的重要思想方法2—・问题I原问题的解答冋题冋题规范问题己知理论、方法、技巧解答3.转化具冇多样性、层次性和重复性的特点，为了实施冇效的转化

2、，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论;既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多样性.转化原则既可以应用于沟通数学与各分支学科的联系,从宏观上实现学科间的转化，乂能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次.而解决问题时可以多次的使川转化，使问题逐次达到规范化，这是转化原则应用的重复性.4.化归与转化思想的核心是将生疏的问题转化为熟知的问题，解题的过程就是一个缩小已知与求解Z间差界的过程，是未知向已知转化的过程，也是口标向问题靠拢的过程.5.化归思想有着客观的基础，它着眼于揭示内在本质联系，实现转化与化归，通过矛盾的转化，达到解决问题的口的.6.化归

3、转化思想方法要遵循以下原则：（1）目标简单化原则，即越转化，问题越简单，越利于解决问题；（2）和谐统一原则，即转化和化归应满足目标问题为待解决问题在量、形、关系上趋于统一使问题的条件和结论更均匀和恰当，使待解决问题在表现形式上，越发趋于和谐；（3）具体化原则，化归方向越具体，越有利于问题的解决；（4）冋归原则，无论怎么转化，无论转化为什么新的问题，部是手段，不是目的，最终的目的是解决原始问题.因而，最后要回归到原始问题上来，否则，劳而无功.7.数形结合思想体现了数与形的相互转化，函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，这三种思想方法都是转化与

4、化归思想的具体体现.各种变换方法，分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.可以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.【精练精析】题型一等与不等的转化与化归例1、若直线—+—=1通过点M（cosa,sina）,则abD.B.a2+b2^lC.分析：点M(cosa,sirm)是单位圆上的点，，则可以通过直线与单位圆的位置关系来转化。，当然也可以把直线-+^-=1看作等式或看作向量的数量积来解答。ab解法一：由题意知肓•线-+2=1与圆x2+y2ah…丄亠」z」1、cosofsina.解法二：设向里:加=(cosa,sina),/2=(―,一)，山题息知+=1abab由…訥I”冋得"詈+畔

5、冬解答案:D【探究拓展】将一个等式转化成不等式，是求变量取值范围的重耍方法，通常利用函数的单调性解答此类问题，或者利用基本不等式解答这类问题.变式训练1已知三实数a,b,c成等比数列，且a+b+c二m(m是正常数)，求b的取值范围.解：方法一设三个实数为-,h,hxXilla+b+c=m,得/?(1+x+—)=m，从而b=.xi,11+x+—x当x>OU寸,兀+丄》2;当x<0U寸,x+—<-2,XX从而1+兀+—23或l+x+—5-1,XX又加〉0,所以0

6、a+b+c=m,所以<,[ac=b2则a、c是关于x的方程x2・(m-b)x+b2=0的两个实数根,所以△二L-(m-b)]2・4b2$0,血军之得，一加0),又bH0,3例2、在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有个。分析：不能被5整除的数要分类讨论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑。注意到不能被5整除实质上是末位数字不是()，也不是5。用间接法。所有四位数有A「A；=300个，末位为0时有A；=60个,末位为5时有A〉A：=48个,・・・满足题意的数共有300-60-48=192个。点评：一些数学问题，如果从条件岀发

7、，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手,或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”。“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用Z,能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。变式训练2试求常数m的范围，使曲线尸X?的所冇弦都不能被直线尸m(x-3)垂直平分.解由题意町知，mHO,所以设抛物线上两点(兀［，彳)，(兀2,兀;)关于直线y=m(x-3)对