高一(清北班)资料3(函数值域(最值)、二次函数)

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1、专题三:函数值域(]二次函数选讲一、函数值域(最值)复习：函数中第三要素一一函数的值域C={f(x)xeA}cBo1.(1)函数的值域：在函数y=屮，与自变量兀的值对应的y的值叫做,函数值的集合叫做函数的；函数的值域取决于函数的和。(2)函数的最大、最小值：函数/⑴值域中的最大、最小的值就是函数的最大、最小值，记为/(^max与。(注意：每一函数均有值域；但并不是所有函数都有最值。)2.确定函数值域的原则：(1)当函数y=/(兀)用表格给出时，函数的值域就是指表格中实数y的集合；(2)当函数y

2、=由图象给出时，函数的值域就是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；(3)当函数y=/(jv)由解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；(4)当函数y=/(兀)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。(5)求函数值域能作图象尽量数形结合原则，更直观、更简洁！(6)求函数值域必须注意“定义域优先原则”！3.基本初等函数的值域(1)y=kx+b{k工0)的值域为。(2)y=ax2+bx+c(a工0)的值域是。£(3)伙工0)的值域是ox(4)双钩函数/(%)=x+土

3、伙H0常数)的值域。求函数的值域(或最值)是高中数学及竞赛的难点，它没有固定的方法和模式，求函数值域(或最值)的常见方法有：直接法、配方法、图象法、根式代换法、分离法(裂项成反比例或双勾函数及其复合函数)、逆求法(反解法)、判别式法、换元法、单调性法、数形结合法、复合函数法等等。但必须注意“定义域优先原则”！(1)直接法一一从自变量兀的范围出发，推出y=f(x)的取值范围。(2)配方法一一是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F{x)=afx)+bfx)^c的函数的值域(或最值)问题，还可用

4、二次函数图彖法。(4)单调性法一一确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域(或最值）。形如y二二二的函数的值域（或最值）均可使用此法求解。按+4（6）图象法（或数形结合法）一一当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的儿何意义，借助于儿何方法求出函数的值域（或最值）。（7）逆求法（反解法）一一利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。形如）的函数的值域，均可使用反函数法。此ax+b外，这种类型的函数值域也可

5、使用“分离法”求解。（8）判别式法一一把函数转化成关于x的二次方程F（x,y）=0,通过方程有实根，判别式A>0,从而求得原函数的值域，形如y=a^x2+b]X+q（q,$不同吋为0）的函数的值域常用此法求解。注意:①函数的定义域应为［xeRa2x2^b2x-}-c2^0］；②分子、分母没有公因式。（9）换元法一一运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域（或最值）。形如y=ax+b土Jcx+d（a,b,c,d均为常数，且dHO）的函数常用此法求解。（10）复合函

6、数法一一先求复合函数的定义域，然后“由内向外“求值域（最值）。能力巩3EH-2F

7、G-104)B.线段D.线段EF,EH（一）二次函数的值域（最值）与配方法例1.（1）设函数/（兀）二的值域为（0,4-00）,求实数d的取值范围。k+2兀+。(2)函数/(x)=x(x-2)的定义域为[a,b],值域为[—1,3],则点⑺“）的轨迹是右图的（A.点H（l,3）和F（—l,l）C.线段(1)设xwR+，求函数f(x)=x2-x+-的最小值。X例2./(x)=ax2+3x-/?(ez,/?eTV"),

8、设/(x)=x的两根为Xj,x2,且x,-x21=30(1)求/(兀)的解析式；(2)是否存在实数a,b(a

9、=J(X[+x2)2-4x}x2=(l—c,，无解)或9a-4=4a—2,b=4of(x)=2x2+3兀一4。3(2)1)当on—

10、一时，4a,bwN”，9a-4beZ,.*a=29—4=2’2)当h<--时,42a~+3ci—4=a2戻+3b-4=产a2+a-2=0戾+b—2=0fM=ao=ba=但此时a=b,矛盾。此种情况不可能。b=1a=一2或q=1b=—2或b=l'/⑷=bof(b)二ao2c广+3u—4=b2b2+3b-4=aa=—1—5/2l3，矛盾。此种情况也/?=a/2-1>——4例2・解：(1)/(x)=x<=>ax2+2x-/?=0的二根为x^x2□不可能。333)当dV—且/?>—时，*4max34=