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1、专题三:函数值域（最值）、二次函数选讲一、函数值域（最值）复习：函数/:AtB中第三要素一一函数的值域C={/（%）xeA}^B.1.（1）函数的值域：在函数=/（x）中，与自变量兀的值对应的y的值叫做，函数值的集合叫做函数的：函数的值域取决于函数的和。（2）函数的最大、最小值：函数/（Q值域中的最大、最小的值就是函数的最大、最小值，记为/（兀）max与/（%。（注意：每一函数均有值域；但并不是所有两数都有最值。）2.确定函数值域的原则：（1）当函数y=/（x）用表格给出时，函数的值域就是指表格中实数y的集
2、合;（2）当函数y=/（劝由图彖给出时，函数的值域就是指图彖在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；（3）当函数y=/（x）由解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;（4）当函数兀）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。（5）求函数值域能作图象尽量数形结合原则，更直观、更简洁！（6）求函数值域必须注意“定义域优先原则”！3.基本初等函数的值域（1）y=&+/?伙H0）的值域为o（2）y=ax2+加+c（dH0）的值域是o(3)y=-(k^0)的值域是（4）双钩函数/（x）=x+-（
3、Z:^0常数）的值域双钩函数（莱克函数、倒和函数）:x4•求函数的值域（或最值）的方法求函数的值域（或最值）是高屮数学及竞赛的难点，它没有固定的方法和模式，求函数值域（或最值）的常见方法有：直接法、配方法、图象法、根式代换法、分离法（裂项成反比例或双勾函数及其复合函数）、逆求法（反解法）、判别式法、换元法、单调性法、数形结合法、复合函数法等等。但必须注意“定义域优先原则”！（1）直接法一一从自变量兀的范围出发，推lhy=的取值范臥（2）配方法一一是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F（x）=af2（x）^b
4、f（x）^-c的函数的值域（或最值）问题，述可用二次函数图象法。（4）单调性法一一确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域（或x2+5最值）。形如尸：・的函数的值域（或最值）均可使用此法求解。（6）图象法（或数形结合法）一一当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域（或最值）。（7）逆求法（反解法）一一利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数ex+d的定义域，得到原函数的值域。形如歹=上「（6/工0）的函数的
5、值域，均可使用反函数法。此ax+h外，这种类型的函数值域也可使用“分离法”求解。（8）判别式法一一把函数转化成关于x的二次方程F（%,y）=0,通过方程有实根，判别式2A>0,从而求得原函数的值域，形如+q⑷卫2不同时为0）的函数的值域常a2x+b2x^c2用此法求解。注意：①函数的定义域应为［xeRa2x2+b2x+c2^Q］；②分子、分母没有公因式。（9）换元法一一运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一两数，从而求得原函数的值域（或最值）。形如y=ax+b±4cx+d（a,b.c,d均为常数，且
6、d工0）的函数常用此法求解。（10）复合函数法一一先求复合函数的定义域，然后"由内向外“求值域（最值）。能力巩)B.线段EF,GHD.线段EF,EH（一）二次函数的值域（最值）与配方法例1.（1）设函数/（%）=—斤的值域为（0,+8）,求实数a的取值范围。ax^+2兀+a（2）函数/（x）=x（x-2）的定义域为［a,b］f值域为［—1,3］,则点⑺力）的轨迹是右图的（A.点H（l,3）和F（—1,1）3EH-2F1G-104C.线段EH,FG(3)设xw©,求函数f(x)=x2-x+—的最小值。x例2.f
7、(x)=ax2+3x-b(a,beN'),设f{x)=x的两根为x^x2,且
8、x,-x2
9、=3o(1)求于(兀)的解析式；(2)是否存在实数ci,b(aax2+2x-b=0的二根为xl,x20则
10、西一七
11、=J(*i+兀2尸一4兀內=":°”=2"4_3,aa2(ab+=3d,・：4(ab+1)=9/,Va,beN,即a(9a一4b)=4,Ta,比・・・％—4比Z,・・・[a=1(无解)
12、或[a=4(无解)或[a",[9a-4=4[967-4=1[%-4=2a=2,b=4o/(x)=lx1+3兀-4。.3.f{a)=a2a2+3a-4=ci[a1--a-2=0仏=一2或°=1(2)1)m__吋，彳rC亠4[f(b)=b[2b2-^3b-4=b[b2-^b-2=0[b=-2^b=13a=-_V-—
