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1、平面向量的概念及线性运算・白土兰为口r/%ft—4■丄1要点梳理1.向量的有关概念名称定义备注向量既有乂有的量；向量的人小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向屋为土盒平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向最相等向量长度J1•方向的向量两向最只有相等或不等，不能比较人小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或儿何意义)运算律加法求两个向量和的运算a法则^7a法则⑴交换律：a+
2、b=•⑵结合律：(a+b)+c=■减法求a与〃的相反向量一方的和的运算叫做a与〃的差a法则a—b=a+(—b)数乘求实数久9向量a的积的运算⑴
3、加
4、=:(2)当人＞0时，加的方向与a的方向：当久vO久(“a)=:(2+“)a=:A(a+b}=平面向量的概念及线性运算・白土兰为口r/%ft—4■丄1要点梳理1.向量的有关概念名称定义备注向量既有乂有的量；向量的人小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向屋为土盒平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共
5、线共线向量的非零向量又叫做共线向最相等向量长度J1•方向的向量两向最只有相等或不等，不能比较人小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或儿何意义)运算律加法求两个向量和的运算a法则^7a法则⑴交换律：a+b=•⑵结合律：(a+b)+c=■减法求a与〃的相反向量一方的和的运算叫做a与〃的差a法则a—b=a+(—b)数乘求实数久9向量a的积的运算⑴
6、加
7、=:(2)当人＞0时，加的方向与a的方向：当久vO久(“a)=:(2+“)a=:A(a+b}=时，加的方向与a的方向:当2=0时，3.共
8、线向量定理向量d(aHO)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数久，使得.［难点正木疑点清源］1.向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.2.向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.基础自测1.化简OP-QP+MS-MQ的结果为
9、2.在平行四边形4BCD”',E为DC边的中点，KAB=afAD=b,则苑=.3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线•其屮不正确命题的序号是•4.已知D为三介形边BC的中点，点P满足PA+BP+&=0,AP=aPD,则实数2的值为.AO=ob5.已知O是△MC所在平而内一点,D为3C边屮点，且2OA+OB+OC=(},那么()B.AO=2ObD2A0=0DC.AO=3db题型分类・深度剖析题型一平面向量的概念辨析m11给出下列命题:①若a
10、=bf贝\a=bx②若B,C,Q是不共线的四点，则AB=DC^A边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a=b,b=c,贝ija=c；@a=b的充要条件是a=b且a//b.其中正确命题的序号是•探究提高(1)正确理解向址的相关概念及其含义是解题的关键.(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.(5)非零向量a与盒的关系是：盒是a方向上的单位向量.变式训练1判
11、断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.(1)若向量a与〃同向,且lal>l*l,贝\a>b,(2)若a=h，则a与〃的长度相等且方向相同或相反；(3)若lal=0l,且4与〃方向相同,贝>Ja=b；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向最a与向最方平行,则向最a与方的方向相同或相反；(6)若向最為与向最(壬)是共线向量，则B,C,Q四点在一条肓线上；⑺起点不同，但方向相同且模相等的儿个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等.题型二向量的线性运算Q例21在厶ABC屮，D、
12、E分别为BC、/C边上的中点，G为BE上一点、,H.GB=2GE,设乔=a,AC=b,试用a,方表示久5,AG.探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形屮的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)川几个茶本向量表示某个向量问题的慕木技巧：①观察各向量的位置；②寻
