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1、平面向量的基本概念及线性运算返回目录1.向量的有关概念(1)向量:既有,又有的量叫做向量,向量的大小叫做向量的(或模).(2)零向量:的向量叫做零向量,其方向是的.(3)单位向量:给定一个非零向量a,与a且长度等于的向量,叫做向量a的单位向量.大小方向长度长度为0任意同方向1考点分析返回目录(4)平行向量:方向或的向量.平行向量又叫,任一组平行向量都可以移到同一条直线上.规定:0与任一向量.(5)相等向量:长度且方向的向量.(6)相反向量:长度且方向的向量.2.向量的加法和减法(1)加法①法则:服从三角形
2、法则、平行四边形法则.②运算性质:相同相反非零共线向量平行相等相同相等相反返回目录a+b=(交换律);(a+b)+c=(结合律);a+0==.(2)减法①减法与加法互为逆运算;②法则:服从三角形法则.3.实数与向量的积(1)长度与方向规定如下:①
3、λa
4、=;b+aa+(b+c)0+aa
5、λ
6、·
7、a
8、②当时,λa与a的方向相同;当时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=.(2)运算律:设λ,μ∈R,则①λ(μa)=;②(λ+μ)a=;③λ(a+b)=.4.平行向量基本定理向量a与b(b≠0)平行的充要条件
9、是.返回目录有且只有一个实λ>0λ<00(λμ)aλa+μaλa+λb数λ,使得a=λb返回目录判断下列各命题是否正确.（1）若
10、a
11、=
12、b
13、，则a=b;（2）若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；（3）若a=b,b=c，则a=c;（4）两向量a,b相等的充要条件是：
14、a
15、=
16、b
17、且a∥b；考点一向量的有关概念题型分析返回目录【分析】从向量的模、相等向量的概念入手，逐个判断其真假.（5）
18、a
19、=
20、b
21、是向量a=b的必要不充分条件；（6）AB=CD的充要条件是A
22、与C重合，B与D重合.【解析】（1）不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.（2）正确.∵AB=DC,∴
23、AB
24、=
25、DC
26、且AB∥DC.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形，反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥DC，且AB与DC方向相同，因此，AB=DC.（3）正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同；又∵b=c,∴b,c的长度相等且方向相同.∴a,c的长度相等且方向相同，故a=c.（4）不正确.当a∥b，但方向相反，即使
27、a
28、=
29、b
30、，也不能得到a=b.（
31、5）正确.这是因为
32、a
33、=
34、b
35、/a=b，但a=b
36、a
37、=
38、b
39、，所以
40、a
41、=
42、b
43、是a=b的必要不充分条件.返回目录返回目录【评析】向量中的概念比较多，易混淆，基础性题目的判定应从概念的本质上加以理解和应用.（6）不正确.这是因为AB=CD时，应有：
44、AB
45、=
46、CD
47、,即由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合，B与D重合.＊对应演练＊给出下列命题:①向量AB的长度与向量BA的长度相等;②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;③两个有共同起点并且相等的向量,其终点必相同;④两个有
48、共同终点的向量,一定是共线向量;⑤向量AB与向量CD是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上;⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中假命题的个数为()A.2B.3C.4D.5返回目录C(①中,∵向量AB与BA为相反向量,∴它们的长度相等,∴此命题正确.②中若a或b为零向量,则满足a与b平行,但a与b的方向不一定相同或相反,∴此命题错误.③由相等向量的定义知,若两向量为相等向量,且起点相同,则其终点也必定相同,∴该命题正确.④由共线向量知,若两个向量仅有相同的终点,则不一定共线,∴该命题错误.⑤∵
49、共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB与CD是共线向量,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上,∴该命题错误.⑥∵零向量不能看作是有向线段,∴该命题错误.故应选C.)返回目录返回目录如图4-1-1,若ABCD是一个等腰梯形,AB∥DC,M,N分别是DC,AB的中点,已知AB=a,AD=b,DC=c,试用a,b,c表示BC,MN,DN+CN.【分析】结合图形性质,准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.考点二向量的线性表示【解析】BC=BA+AD+DC=-a+b+c.∵MN=MD+DA
50、+AN,MN=MC+CB+BN,∴2MN=MD+MC+DA+CB+AN+BN=-AD+CB=-b-(-a+b+c)=a-2b-c,∴MN=a-b-c.DN+CN=DM+MN+CM+MN=2MN=a-2b-c.返回目录返回目录【评析】(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系,能熟练地找出图形中相等向量,能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是:①观察各向量的位置;②寻找
