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《条件概率-概率论与数理统计(李长青)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四节条件概率1、条件概率的定义例1抛掷一枚均匀的硬币三次,以B表示事件“第一次抛掷出现正面”,A表示事件“正面出现的次数多于反面出现的次数”,求条件概率解以H表示掷出正面,T表示掷出反面,则试验的样本空间为而事件由于事件B已经发生,所以此时仅有4种结果,而A显然这是因为已知事件B已经发生,样本空间已由原来的Ω缩减为所包含的样本点中有3个同时也属于B,所以有另外所以有因此有容易验证对一般的古典概型,只要上述等式总是成立的.在几何概率的情形(以二维平面区域为例),上式依然成立.如果向一个矩形内随机地这时A发生的概率为投点(如下图)若已知
2、B已发生,定义设A,B是同一随机试验的两个事件,且称为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.P(A
3、B)符合概率定义的三条公理，即（1）非负性：（2）规范性：（3）可加性：其中为两两互不相容事件注意：条件概率满足概率的一切性质例2设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30年内发生特大洪水的概率为80%,在40年内发生特大洪水的概率为85%,问现已无特大洪水过去了30年的该地区,在未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？解设B=“该地区从某次特大洪水发生后30年内无特大洪水”A=“该地区从某次特大洪水发生后40年内无特大洪水”则所求概
4、率为由于算公式,有由条件概率的计再由条件概率的性质,可得例3设M件产品中有m件为正品,M–m件为次品,从中任取两件:(1)在所取产品中有一件为次品的条件下,求另一件也是次品的概率;(2)在所取产品中有一件为正品的条件下,求另一件是次品的概率.解(1)设B=“所取的两件产品中至少有一件为次品”A=“所取的两件均为次品”则所求的概率为显然所以有(2)设C=“所取的两件产品中至少有一件是正品”D=“所取的两件产品中一件为正品,一件为次品”则所求概率为因为所以有二、乘法公式设P(A)>0,则有乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:同样,当P(
5、B)>0时,有：例410个人依次抓阄,10张阄中只有一张写有“奖品A”,求它被第k个人抓到的概率(k=1,2,…,10).解设Ak=“第k个人抓到了写有“奖品A”的阄”k=1,2,…,10“奖品A”被第一个人抓到的概率为因为只有一个阄写有“奖品A”,所以,从而于是同理,因为所以,“奖品A”被第三个人抓到的概率为如此继续下去,依次可得最后,注意到及“奖品A”被第10个人抓到的概率为最后,注意到及“奖品A”被第10个人抓到的概率为三、全概率公式定理1.2设是样本空间Ω的一个完备事件组,且则对于任意事件B,有注全概率公式中完备事件组所包含的
6、事件可以是无限多个,若是一两两互不相容的事件序列,且及则对于任意事件B,有例5设甲箱内有5个正品,3个次品,乙箱内有4个正品,3个次品.从甲箱内任取3个产品放入乙箱,然后从乙箱中任取一个产品,求这个产品是正品的概率.解设B=“从乙箱中取得的是正品”Ai=“从甲箱取的3个产品中有i个是正品”(i=0,1,2,3)(i=0,1,2,3)构成完备事件组,根据古典概型的概率计算公式有由全概率公式可得例6播种用的一等种子中混合2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子.用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别是0.
7、5,0.15,0.1,0.05,求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率.解设从这批种子中任选一颗,记Ai=“任选的一颗种子是i等种子”(i=1,2,3,4)B表示事件“在这批种子中任选一颗,且这颗种子所结的麦穗含有50颗以上麦粒”Ai(i=1,2,3,4)构成完备事件组.Ai=“任选的一颗种子是i等种子”(i=1,2,3,4)B表示事件“在这批种子中任选一颗,且这颗种子所结的麦穗含有50颗以上麦粒”Ai(i=1,2,3,4)构成完备事件组.又由题意知由全概率公式得四、贝叶斯公式定理1.3(贝叶斯公式)设是样本空间则对于任Ω的一个完
8、备事件组,且意事件B,若则有例7设在8支枪中有3支未经过试射校正,5支已经率为0.8,而用未经过校正的枪射击时,击中目标的概率试射校正.一射手用校正过的枪射击时,击中目标的概为0.3.现该射手从8支枪中任取一支进行射击,结果击中目标,求所用这支枪是已经校正过的概率.解设A表示事件“所取的枪是校正过的”表示事件“所取的枪是未校正过的”B表示事件“射击击中目标”由题意知由题意知由贝叶斯公式得所求的概率为例81950年某地区曾对50—60岁的男性公民进行调查,肺癌病人中吸烟的比例是99.7%,无肺癌人中吸烟的比例是95.8%.如果整个人群的
9、发病率是0.0001,求吸烟人群中的肺癌发病率和不吸烟人群中的肺癌发病率.解以A表示事件“有肺癌”,B表示事件“吸烟”,由题意知由贝叶斯公式可得从而有由此知,吸烟人群的肺癌发病率是不吸烟人群的肺癌发病率的14.57倍.
