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《单因素试验的方差分析-概率论与数理统计(李长青版).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第九章方差分析与回归分析第一节单因素试验的方差分析一、方差分析原理把考察事物的结果称为试验结果,也称为试验指标.因素可分为两类:平。影响试验指标的条件称为因素。一类是人们可以控制的，称为可控因素；另一类是人们不能控制的，称为不可控因素。为了考虑某个因素A对所考察的随机变量X的影响,可以在实验时让其他因素保持不变，而仅让因素A改变,这样的试验称为单因素试验，因素A所处的状态称为水在试验中变化的因素称为因子，用A、B、C......表示，因子在试验中所取的不同状态称为水平，因子A的不同水平用表示。以下用字母等表示随机变量。例1为考察种子品种对作物产量的影响,同一作
2、物选用三个命名为的种子,分别在条件大体相同的5块等面积的小田块上试种,其作物产量(单位:kg),如下表，试分析种子的不同品种对作物产量的影响.13915112513913214812210611712513712513314213013912612854321重复试验序号及作物实测产量种子品种代号(水平)这里试验的指标是作物产量,作物是因素,三种种子品种代表三个不同的水平.首先,形成数据差异的直接原因是种子的不同品种.因此,每个品种下产量的均值差异检验是我们的主要任务.这种由因素(种子品种)造成的差异称为条件(系统)误差.其次,同一品种下数据表现出来的差异称为
3、试验(随机)误差,这是由客观条件的偶然干扰造成,与因素(品种)无直接联系.方差分析正是分析两类误差的有效工具.本问题只考虑品种一种因素，故是单因素试验，即只有一个因子，记为A,5个不同的品种就是该因子的5个不同的水平，分别记为由于同一品种在不同的田块上的亩产量不同，故可以认为一个品种的亩产量就是一个母体，在方差分析中，总是假定各母体相互独立地服从同方差的正态分布，即第个品种的亩产量是一个随机变量，它服从正态分布:试验的目的是检验假设是否成立。二、单因素试验的数学模型设在单因素试验中,所考察的因素为A，A有s个水平现在Aj水平下做了nj次试验，试验的实测数据由下
4、表给出:为考察因素对指标的影响,把第j个水平Aj下的实测数据看做是从第j个总体中抽取的容量为的样本在方差分析中总是假定s个总体相互独立且服从相同方差(未知)的正态分布.即水平Aj对应的总体要检验的假设是：（1）我们假定各个水平Aj下的样本为来自具有相同方差σ2均值分别为的正态总体与σ2均未知.设不同水平Aj下的样本之间相互独立.由于从而将可看成随机误差,将其记作则可表为此即单因素试验方差分析的数学模型.三、单因素方差分析及其显著性检验的方法(一)方差分析的任务相等,即检验下述假设1.检验s个总体的均值是否2.对未知参数及σ2进行估计.（2）引入记号其中μ称为总
5、平均.A的第j个水平的效应,表示水平Aj下的总体平均效应间的关系：值与总平均的差异,利用上述记号,将单因素试验方差分析模的型改写成如下形式:显然,当且仅当时,即由此知假设(2)等价于假设不全为零.（3）(二)离差平方和分解引入记号水平Aj下的样本均值,称为组内平均(或列平均)称为总平均,它是从s个总体中抽得的样本的样本均值.用样本值xij与总平均之间的偏差平方和来反映xij之间的波动.用样本值xij与总平均之间的偏差平方和来反映xij之间的波动.记称ST为总的偏差平方和.对其作分解如下:对于第三项,直接计算可得对于第三项,直接计算可得记从而有利用(3)可得从而
6、有由此知,Se反映了误差的波动,称其为误差的偏差平方和(或称为组内平方和),它集中反映了试验中与因素及其水平无关的全部随机误差.在H0为真时,SA反映误差的波动,在H0不真时,SA反映因子A的不同水平效应间的差异(同时也包含误差),由此知,Se反映了误差的波动,称其为误差的偏差平方和(或称为组内平方和),它集中反映了试验中与因素及其水平无关的全部随机误差.在H0为真时,SA反映误差的波动,在H0不真时,SA反映因子A的不同水差平方和(或效应平方和),无关的条件误差,指标的影响.称其为因素A的偏它描述了试验中与偶然干扰其数值大小集中体现了因素及水平对(三)Se与
7、SA的统计特性由于由此可得同理可得由此得在H0为真时,即时,有否则否则从而在H0不真时,比值有偏大的趋势,记为F,即则F可以作为检验H0的统计量.将Se写成如下分项相加的形式将其将Se写成如下分项相加的形式其中是总体的样本方差的倍,于是因诸xij相互独立,所以,Se中的s个平方和相互独立,根据分布的可加性知因诸xij相互独立,所以,Se中的s个平方和相互独立,根据分布的可加性知因为所以由SA的表达式知,SA是s个变量的平方和,它们之间有关系由此知SA的自由度为s–1.可以证明SA与Se相互独立,且当H0为真时，由此知SA的自由度为s–1.可以证明SA与Se相互
8、独立,且当H0为真时，基于以上分析知,
