单因素试验的方差分析

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1、单因素试验的方差分析在工农业生产和科研活动中，我们经常遇到这样的问题：影响产品产量、质量的因素很多，例如影响农作物的单位面积产量有品种、施肥种类、施肥量等许多因素。我们要了解这些因素中哪些因素对产量有显著影响，就要先做试验，然后对测试结果进行分析，作出判断。方差分析就是分析测试结果的一种方法。引言基本概念试验指标——试验结果。可控因素——在影响试验结果的众多因素中，可人为控制的因素。水平——可控因素所处的各种各种不同的状态。每个水平又称为试验的一个处理。单因素试验——如果在一项试验中只有一个因素改变，其它

2、的可控因素不变，则该类试验称为单因素试验。引例例1（灯丝的配料方案优选）某灯泡厂用四种配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中作随机抽样，测量其使用寿命（单位：小时），数据如下：160016801570153015201510丁1820816601800717401720616401750170051620170016804160015501460丙164016401580乙165016101600甲321灯泡寿命灯丝灯泡的使用寿命——试验指标灯丝的配料方案——试验因素（唯一的一个）四种配料方案（甲

3、乙丙丁）——四个水平因此，本例是一个四水平的单因素试验。引例用X1，X2，X3，X4分别表示四种灯泡的使用寿命，即为四个总体。假设X1，X2，X3，X4相互独立，且服从方差相同的正态分布，即Xi~N（??i，??2）（i=1，2，3，4）本例问题归结为检验假设H0：??1=??2=??3=??4是否成立我们的目的是通过试验数据来判断因素A的不同水平对试验指标是否有影响。设A表示欲考察的因素，它的个不同水平，对应的指标视作个总体每个水平下,我们作若干次重复试验：（可等重复也可不等重复），同一水平的个结果，就

4、是这个总体的一个样本：单因素试验的方差分析因此，相互独立，且与同分布。单因素试验资料表其中诸可以不一样，水平重复1...ni（水平组内平均值）（总平均值）试验结果纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），由试验造成；横向个体间的差异称为系统误差（组间差异），由因素的不同水平造成。品种重复123例：五个水稻品种单位产量的观测值——P165由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差，所以设：其中为试验误差，相互独立且服从正态分布线性统计模型单因素试验的方差分析的数学模型具有方差齐性。相互独立，从而各子样也相互

5、独立。首先，我们作如下假设：即令（其中）称为一般平均值。称为因素A的第个水平的效应。则线性统计模型变成于是检验假设：等价于检验假设：显然有：整个试验的均值考察统计量经恒等变形，可分解为：其中组间平方和（系统离差平方和）反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。如果H0成立，则SSA较小。若H0成立，则总离差平方和见书P168其中组内平方和误差平方和这里反映的是重复试验种随机误差的大小。表示水平Ai的随机误差；表示整个试验的随机误差若假设成立，则由P106定理5.1可推得：将的自由度分别记作则（记，称作均

6、方和）（各子样同分布）则（记，称作均方和）对给定的检验水平，由得H0的拒绝域为：8><#004699'>F单侧检验结论：方差分析实质上是假设检验，从分析离差平方和入手，找到<#004699'>F统计量，对同方差的多个正态总体的均值是否相等进行假设检验。单因素试验中两个水平的均值检验可用第七章的T检验法。思考：为什么此处只做单侧检验？（1）若，则称因素的差异极显著（极有统计意义），或称因素A的影响高度显著，这时作标记；约定（2）若，则称因素的差异显著（差异有统计意义），或称因素A的影响显著，作标记；（3）若

7、，则称因素A有一定影响，作标记（）；（4）若，则称因素A无显著影响（差异无统计意义）。注意：在方差分析表中，习惯于作如下规定：单因素试验方差分析表方差来源组间组内总和平方和自由度均方和<#004699'>F值<#004699'>F值临介值简便计算公式：其中同一水平下观测值之和所以观测值之和例2P1952以A、B、C三种饲料喂猪，得一个月后每猪所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。饲料ABC增重514043482325262328解：解：不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。列方差分析表方差来源

8、组间组内总和平方和自由度均方和<#004699'>F值<#004699'>F值临介值例2的上机实现步骤1、输入原始数据列，并存到A，B，C列；各水平数据放同一列各水平数据放在不同列2、选择Stat>ANOVA>one-way(unstacked)不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。定理在单因素方差分析模型中，有如果H0不成立，则所以，即H0不成立时，有大于1的趋势。所以H0为真时的小概率事件应取在<#00469