2011中科院高数甲真题

《2011中科院高数甲真题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、中国科学院研究生院2011年招收硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（甲）考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计为180分钟。所有的答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。一、选择题（本题满分40分）1x（1）极限lim[(1x+)-e]=（）。x®+¥xee（A）0（B）¥（C）（D）-22ïìx2+2(xx³0)（2）若函数fx()=í在x=0处可导，则a等于（）ïîln(1+ax)(x<0)（A）-2（B）2（C）-1（D）1fx()-fa()（3）设极限lim

2、=-2，则函数fx()在x=a处（）4x®a(xa-)（A）导数值不等于零（B）导数值等于零但x=a不是极值点（C）取得极大值（D）取得极小（4）设函数fx()在定义域内可导，fx()的图像如右图所示，则fx¢()的图像最有可能为（）（A）（B）(C)（D）科目名称：高等数学（甲）第1页共3页2（5）设xlnx是函数fx()的一个原函数，则不定积分òxfxdx'()=（）23132（A）xlnx+x+C（B）2x-xlnxC+392222（C）xlnxx++C（D）3xlnxx++C（6）设yy,是二阶线性

3、函数齐次微分方程y''+pxy()'+qxy()=0的两个12特解，CC,是两个任意常数，则（）12（A）Cy+Cy不一定是该微分方程的解1122（B）Cy+Cy是该微分方程的解，但未必是通解1122（C)Cy+Cy是该微分方程的解，但不是通解1122（D)Cy+Cy不是该微分方程的通解1122¥¥（7）若级数åun和åvn都发散，则级数（）一定发散。n=1n=1¥¥（A)å(un+vn)(B)åuvnnn=1n=1¥¥22(C)å(un+vn)(D)å(un+vn)n=1n=12121(8)设两条抛物线y

4、=nx+和y=(n+1)x+所围成的图形的面积为An，nn+1则limA=（）nn®¥（A)0（B)1（C)2（D)3二、（本题满分10分）设函数fx()在[0,2p]上有连续导数，且fx'()³0，求证：对任2p2何整数n，都有òfx()sin()xdx£(f(2)p-f(0))。0nx三、（本题满分10分）设fx()具有连续导数，且满足fx()=x+ò0tf'(xtdt-)，求极限limfx()。x®-¥2¶z2四、（本题满分10分）设函数z=fxy(,)满足=+xy，fx(0)=，x，f(0，y)=y

5、，¶¶xy试求fxy(,)。科目名称：高等数学（甲）第2页共3页22五、（本题满分10分）求函数fxy(,)=(x-6)+(y+8)在区域22D={(xy,)

6、x+y£25}上的最大值和最小值。六、（本题满分10分）计算二重积分òò(

7、

8、

9、

10、x+ydxdy)，其中积分区域D是由直线x=0，Dx+y=3，y=x-1及y=+x1所围成的区域。xdy-ydx七、（本题满分10分）计算曲线积分I=ò
22，其中是以L为(1,0)中心，为R半L4x+y径的圆周(R>0，R¹1)，取逆时针方向。八、（本题满分10分）设

11、函数fx()在(-¥¥，+)上有定义，在x=0的某个领域内有一阶fx()¥næö1¥æö1连续的导数，且lim=a>0，证明：å(-1)fç÷ç÷收敛，而åfç÷ç÷发散。x®0xn=1èønn=1èøn2九、（本题满分10分）将函数fx()=x(-£px£p)展成以2p为周期的傅里叶级数。1十、（本题满分10分）已知函数fx()具有连续的二阶导数，f(0)=0，f'0()=，且3x对任意的光滑有向封闭曲面S，都有ò
e(f'(xdydz)-2yfxdzdx()-zdxdy)=0，求函S数fx()的表达式。

12、十一、（本题满分10分）设一个平面通过点(1,2,3)，他在x轴，y轴上的截距相等。问：当平面在三个坐标轴上的截距分别为何值时，它与三个坐标面所围成的空间体积最小？并写出此平面的方程。十二、（本题满分10分）设函数fx()在[0，c]上可导，f'(x)单调递减且f(0)=0，证明：对于0£££+£ababc，都有fab(+)£fa()+fb()。科目名称：高等数学（甲）第3页共3页