中科院历年高等数学甲真题

《中科院历年高等数学甲真题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、中国科学院———中国科技大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷试卷名称：高等数学（A）考生须知：1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。_____________________________________________________________________一、选择题（每题只有一个答案是正确的，每小题5分，共25分）11（1）当x0时，sin是（）xxA.无穷小量B.无穷大量C.有界且非无穷小量D.无穷且非无穷大量f(x)f(0)（2）设f(

2、x)可微且满足lim1，则曲线yf(x)在(0,f(0))x02x处的切线斜率为（）11A.2B.2C.D.22（3）二元函数f(x,y)在(x,y)处的两个偏导数存在是f(x,y)在(x,y)处0000可微的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件（4）正项级数an收敛的充分条件是（）n1aA.n11(nN)B.na1(nN)nan2C.(anan1)收敛D.an收敛n1n1（5）下列广义积分中发散的是（）xlnx11A.022dxB.02dx(1x)1x2

3、lnxln(x1)C.dxD.dx1x(x21)0x二、填空题（每小题5分，共25分）2x2e1x（1）lim________。22x0xsinx（2）曲线ysinx(0x)和x轴围成的图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积是____________。2sinx3siny（3）二重积分dxdy________。22sinxsinyxy122xy（4）平面x2yz1与椭圆柱面1相交所成的椭圆的面积为23_________。ijk（5）向量场v的旋度为___________。222xyzy

4、f(x,z)z三、（8分）设二元函数f具有一阶连续偏导数，关系式eyz可确定函dydz数yy(x)及zz(x)求及。dxdx四、（8分）设f(x)满足条件f(x)f(x)1，f(0)2。（1）求f(x)；（2）求不定积分(f(x)1)lnf(x)dx。nnn1五、（8分）求幂级数(1)x的收敛半径和函数。n0n1x六、（8分）求微分方程y2yye的通解。七、（12分）设f(x)在0,1中有连续二阶导函数。11（1）证明：x(1x)f(x)dxf(0)f(1)2f(x)dx；001M

5、（2）当f(0)1，f(1)1且f(x)M时，试证：f(x)dx。012xx八、（12分）计算曲线积分(esinyy)dxecosydy，其中L是以(0,0)为起L22点，以(2,0)为终点的上半圆周(x1)y1。3九、（12分）计算曲面积分(xx)dydzzdxdy，其中S是有向曲面S22zxy(0z1)，其法向量与z轴正方向夹角为锐角。2十、（12分）设f(x)是以2为周期的偶函数，当0x时，f(x)1x。（1）将f(x)在,上展开成傅里叶级数；n1(1)1（2）根据

6、（1）求2和4。n1nn1n十一、（10分）设函数f(x)在0,上连续，在(0,)上可微，f(0)0。当x0时，0f(x)f(x)，证明f(x)恒等于0。十二、（10分）设f(x)在(0,1)上一致连续，证明f(x)在(0,1)上有界.举例说明逆命题不成立。中国科学院——中国科技大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷试卷名称：高等数学（A）考生须知：1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。_______________________

7、______________________________________________一、单项选择题（每题5分，共25分）1.如果函数f(x)，g(x)在点xa附近有定义，下列四个论断正确的是（）A.若f(a)1，则存在0，使得f(x)在(a,a)上严格单调；B.若f(x)在xa点取到极大值，则f(x)在xa点左侧单调增、右侧单调减；C.若f(a)0，f(x)在xa点处可导，则f(x)在xa点处可导的充要条件是f(a)0；D.若f(x)和g(x)都在xa点取到极大值，则函数f(x)g(x)在xa点必取到

8、极大值。2.当x0时，下列四个无穷小量阶数最高的是（）211xA.ln(1x)xx2B.etdt2041x4C.x(cosx)sinx